从阿波尼斯圆谈起

武占斌

摘要：高考试题，立足教材，能力立意；数学学习，发展思维，终身受益。数学是一种追求思维深度的艺术，宁静方能致远！探究要有深度、厚度、广度，需要我们教师适时引领。本文以阿波尼斯圆为切入点展开了探究。

关键词：数学教学；阿伯尼斯园；教师；学生

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）09-0127

已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆。

这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。它的证明可用坐标法实现，也可用三角形的内外角平分线（逆）定理——几何法实现（如图）。

由∵∠1=∠2∴■=■由∵∠3=∠4∴■=■

可见∠2+∠3=■ ■=■=■∴PM⊥PN故P点的轨迹是以MN为直径的圆。M、N分别是线段AB的内分点与外分点。

阿氏圆在现行教材人教社A版《必修二》第四章出现了三处之多，P134 B组3题，P139用《几何画板》探究点的轨迹：圆，P144B组2题。如此高频率的出现，编者难道是无心插柳？事实上真可谓重要的事情说三遍！编者在P141写到：“类似地，用《几何画板》可以探究许多轨迹方面的问题，《几何画板》为我们提供了一个实验、发现、猜想的环境，这种环境可以启发我们用数学思想方法验证我们的猜想”试着想下去，阿氏圆是到两定点的距离之比为定值，那么到两定点的距离之和、差、积为定值？不得不说是暗暗为圆锥曲线的学习埋下了伏笔。

在教学实践活动中，笔者以三处问题为载体，有机融合为一体，引入阿波罗尼斯圆，倡导学生勇于探索，大胆尝试，积极寻求有效的问题解决方法，学生能够批判质疑，辩证地分析问题，做出选择与决定。教师经常这样不断的引领，让学生勤于反思，学会学习，才会具有终身学习的意识和能力，高考中才会立于不败之地。

与阿波罗尼斯圆有关的高考试题近些年屡见不鲜，下面笔者纵向深入，以一个省份——江苏高考与阿波罗尼斯圆的关系见证。

例1. （2008年江苏）若AB=2，AC=■BC，则S△ABC的最大值——

分析：本题以求由初中知识三角形的面积切入，也可以由正余弦定理、三角形面积公式切入，还可以由海伦公式切入，都不及用以阿波罗尼斯圆半径为高，面积最大，简洁方便。本题以三角形面积为载体，巧妙将高中数学的主干知识与数学思想、数学方法交汇一体，真不失为一道看似淡雅，实则内涵浓深的好题！

例2. （2013年江蘇 14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4。

设圆C的半径为1，圆心在l上。

（1）若圆心C也在直线上y=x-1，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围。

分析：第一问简单。第二问如果能透过现象揭示本质，认清楚命题意图是想考察阿波罗尼斯圆与圆C的位置关系，将会迎刃而解。

解：（1）联立：y=x-1y=2x-4，得圆心为：C（3，2）.

当k存在，设切线为：y=kx+3，

d=■=r=1，得：k=0 or k=-■a.

故所求切线为：y=0 or k=-■x+3.

（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：■=2■

化简得：x2+（y+1）2=4，

即：点M的轨迹为以（0，1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.

又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切.

故：1≤|CD|≤3，其中|CD|=■

解之得：0≤a≤■

高考试题，立足教材，能力立意；数学学习，发展思维，终身受益。数学是一种追求思维深度的艺术，宁静方能致远！探究要有深度、厚度、广度，需要我们教师适时引领。

（作者单位：山西省大同市第一中学校 037000）endprint