高考中的新定义问题

☉江苏省口岸中学 陈 岑

从2018年高考数学《考试大纲》可以看出，考纲坚持对五种能力（空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力）和两种意识（应用意识、创新意识）的考查，这是数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养在高考中的体现.而新定义型问题，是指给出相关材料，设计一个相对陌生的数学情景，新定义一个数学问题（新概念、新性质、新运算等），并给出已定义的新概念、新性质、新运算所满足的条件，要求同学们应用所学的数学知识和方法迁移到这段材料中从而使问题得到解决的一类题.往往是创新意识最突出的表现，是每年高考中的亮点之一，也是命题者青睐的热点之一.

一、新规范

通过创新规范，规范相应的集合、函数、数列等所对应的元素、自变量、通项等，结合相关知识加以逻辑推理，进而通过创新思维来分析问题与解决问题.

例1 （2016·全国Ⅲ理·12）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（ ）.

（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个

分析：根据数列新规范，先确定数列的首项与末项，再利用中间项的特征，结合排列与组合思维，通过间接法来确定.

解析：根据定义，{an}的首项必为0，末项必为1，

若m=4，则该数列{an}有8项，其中4项为0，4项为1，

那么下面只要考虑a2到a7的情况即可，从6项中选3项填0有=20个，

排除掉不满足条件的有：以111开头的有1个（000），以110开头的有3个（100、010、001），以101开头的有1个（100），以011开头的有1个（100），

所以不同的“规范01数列”共有20-6=14个，故选C.

点评：解决此类创新规范问题的关键：一是明确创新规范的内容，一般涉及相应的集合、函数、数列等所对应的元素、自变量、通项等；二是根据规范确定相应之间的关系，建立相应的联系（包括关系式、不等式等）；三是借助相应的方法来处理解决，并回归创新规范实质加以验证，从而得到创新与应用.

二、新性质

通过创新性质，可以直接利用创新性质来确定相应的要素，也可以用创新性质来转化达到判断相关知识的常规性质等，重在知识点的交汇与综合，性质间的化归与转化.

例2（2017·山东文·10）若函数exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质.下列函数中具有M性质的是（）.

（A）f（x）=2-x（B）f（x）=x2

（C）f（x）=3-x（D）f（x）=cosx

分析：通过创新性质可知，若函数f（x）具有M性质，则有f（x）+f′（x）＞0恒成立，结合各选项中f（x）+f′（x）的取值情况加以分类讨论，进而确定具有M性质的函数.

解析：由题目条件可设g（x）=exf（x），则有g′（x）=ex［f（x）+f′（x）］，结合题目条件可得f（x）+f′（x）＞0，

选项A中，f（x）+f′（x）=（1-ln2）2-x＞0恒成立，则函数f（x）=2-x具有M性质；

选项B中，f（x）+f′（x）=x2+2x＞0不恒成立，则函数f（x）=x2不具有M性质；

选项C中，f（x）+f′（x）=（1-ln3）3-x＜0恒成立，则函数f（x）=3-x不具有M性质；

选项D中，f（x）+f′（x）=cosx-sinx＞0不恒成立，则函数f（x）=cosx不具有M性质.

故选A.

点评：解决此类创新性质问题的关键是建立题目条件中的创新性质与相应知识的常规性质之间的联系，构造相互之间联系的桥梁，利用常规性质来分析与解决问题，从而朝着创新性质的角度转化，达到创新意识的培养、创新能力的提升的目的.

三、新构造

通过创新构造，根据题目条件构造相关的对应关系、关系式或不等式等，通过新构造的关系来转化与处理，结合特例、构造模型等方式来分析与解决问题.

例3 （2016·四川文·15）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为是原点时，定义P的“伴随点”为它自身.现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；

②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；

③若两点关于x轴对称，则它们的“伴随点”关于y轴对称；

④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线.

其中的真命题是______（写出所有真命题的序号）.

分析：根据创新构造的“伴随点”，①和④通过举特例来加以排除；②中通过单位圆上的点的“伴随点”的坐标关系进行计算，从而得以确定；③中通过两点关于x轴对称时所对应的“伴随点”的坐标来确定.

解析：对于①，设A（2，0），则点A的“伴随点”是点A′（0， -），而点A′的“伴随点”是点（-2，0），与A不同，则①是错误的.

对于②，设单位圆C：x2+y2=1上的任意点P（x，y），其“伴随点”是点P，即点P′仍在单位圆上，则②是正确的.

对于③，设任意点P（x，y）的“伴随点”是点而点P关于x轴对称的点P1（x，-y）的“伴随点”是点显然点P′与点P1′关于y轴对称，则③是正确的.

对于④，设同一条直线上的三点A（2，0），B（0，-1），C（4，1），它们对应的“伴随点”分别为A′（0，-），B（′-1，0），显然此三点不共线，则④是错误的.故填②③.

点评：解决此类创新构造问题的常见思维：一是通过举出特例，包括特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形等方式来说明；二是通过逻辑推理，结合创新构造的关系建立相应的关系式等来化归与转化，进而得以判断.有时多种思维方式并用，综合来处理与判断此类创新问题.

四、新概念

通过创新概念，以集合、函数、数列、解析几何等的常规知识为问题背景，直接利用创新概念的内含来构造相应的关系式（或不等式等），结合相关知识中的性质、公式来综合与应用.

例4 （2017·江苏卷·19）对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”.

（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；

（2）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列.

分析：（1）根据条件设出等差数列{an}的公差d，并确定对应的通项公式，通过n≥4时，结合相应通项之间的转化，并利用创新概念来证明即可；（2）结合数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，建立相应的关系式，通过转化并结合等差数列的定义来证明即可.

证明：（1）因为{an}是等差数列，设其公差为d，则an=a1+（n-1）d，从而，当n≥4时，an-k+an+k=a1+（n-k-1）d+a1+（n+k-1）d=2a1+2（n-1）d=2an，k=1，2，3，所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an，因此等差数列{an}是“P（3）数列”；

（2）数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，因此，

当n≥3时，an-2+an-1+an+1+an+2=4an， ①

当n≥4时，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an. ②

由①知，an-3+an-2=4an-1-（an+an+1）， ③

an+2+an+3=4an+1-（an-1+an）， ④

将③④代入②，得an-1+an+1=2an，其中n≥4，

所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′，

在①中，取n=4，则a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=a3-d′，

在①中，取n=3，则a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=a3-2d′.

所以数列{an}是等差数列.

点评：解决此类创新概念问题的关键：一是认真审题，读懂创新概念的含义；二是活用概念，即会利用创新概念，在相关知识的基础上加以类比、提升与拓展，转化为熟悉的相关问题；三是根据题意，并结合相关知识加以分析与求解，达到创新能力与转化思维的统一，知识与能力的综合，真正达到创新的目的.

其实，许多新定义型问题所给信息量大、复杂，难以一步建立联系.此时需通过综合分析，在纷繁的信息中提炼有用的信息，通过提炼信息、原形迁移、类比推理等方法，逐步逼近问题，最后求解.解决此类新定义型问题的要求相对较高，它要求考生在考场上能够对有关信息进行提取、加工和处理，充分考查了考生的临场应变能力、灵活应用基础知识分析问题和解决问题的能力.J