浅谈初中生数学建模素养的培养——以“生活中的不等式”为例

林 松

（江苏省仪征市第三中学）

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识和方法构建模型解决问题的过程.从这个意义上讲，数学建模是数学知识和数学技能，也可以理解成是一种数学学习的过程.章建跃博士指出，数学能力是数学素养在数学活动中的外化形式，数学素养诉诸数学实践表现为数学能力，离开数学能力，数学素养在数学活动中就无从表现、观察、确证和把握.因此，从素养层面上讲，数学建模是数学建模能力的内化形式，而数学建模能力属于实践活动范畴，在实际教学中是可以操作和评价的.所以初中生的数学建模素养的培养应融会在发现、提出、分析和解决问题的过程之中，在建模教学中实现知识、能力、素养的共同提升.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将数学建模教学的过程简化为这样的三个环节：首先，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题；然后，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题的数量关系和变化规律.这一步中，学生要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判定等数学活动，完成模式抽象，得到模型.这是建模最重要的一个环节.最后，通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义.如何培养学生的建模素养？笔者认为可以围绕数学建模的三个环节，做以下四个方面的努力.

一、培养动眼能力，从数学的视角去发现问题

建模教学要求从现实生活或具体情境中抽象出数学问题.面对具体的情境，学生首先要学会动眼观察，要从数学的视角去观察现实生活和具体情境，要拥有一双数学的眼睛.动眼不能流于形式，要有数学的思考，要学会将教学情境抽象化、符号化.因而要培养学生的动眼观察能力，深度感知其中存在的数学模型就显得尤为重要.

例如，在苏科版《义务教育教科书·数学》七年级下册第11章第1节“生活中的不等式”一课的教学中有如下的教学情境.

情境1：天平左盘中放有三个质量都为x克的小球，右盘放5克砝码，此时天平平衡.

情境2：从天平左盘中拿去一个小球，此时天平发生倾斜.

情境3：向左盘中加一个重m克的物体，可能有哪些情况？

此情境设计的意图是让学生通过观察天平平衡到天平发生倾斜，让学生的思维从“相等”走向“不等”，从而实现从方程模型到不等式模型的过渡.教学中，首先，要让学生带着目的去观察这个实验情境；其次，要让学生用科学的方法去观察，观察的方法有很多.例如，全面观察法、比较观察法、定量观察法等，不同的内容有不同的观察方法，这就需要教师引导学生在观察前，根据观察目的选择合适的观察方法，有重点、有针对性地进行观察；最后，要有一定的内容记载，如向左盘中加一个重m克的物体，让学生观察发生的结果，这个过程就需要学生进行记载，可以采用表格或记录单的形式，将学生的观察结果记录下来，便于以后的思考总结.在整个情境教学过程中，动眼观察是必须的，但在观察的背后要有数学的思考，要善于发现隐藏在现象背后的数学问题.教师要培养学生数学地看情境，抽象地、一般性地发现问题.爱因斯坦说过：你能不能观察到眼前的现象，不仅仅取决于你的肉眼，还要取决于你用什么样的思维，思维决定你到底能观察到什么.因此，教师要引导学生用心去看情境中所蕴含的数学问题，要引导学生看到事物背后隐藏的数学本质.如果教师在数学建模教学中经常性设置带有数学思考的情境，并让学生去观察思考，让学生拥有一双数学的眼睛，那么观察就成为一种习惯，习惯养成了，素养也就自然形成了.

二、培养动口能力，用数学的语言去提出问题和表达问题

数学语言是数学思维的载体，数学教学中一个非常重要的内容就是学生数学语言能力的培养.要让学生在课堂上敢于张口说话，用数学的语言表达数学问题.

例如，“生活中的不等式”教学情境引入后，教师要让学生进行数学表达：情境1中的天平平衡如何用数学式子表达？情境2中的天平发生倾斜如何用数学式子表达？情境3中的向左盘中加一个重m克的物体后，我们看到了什么现象，又如何用数学式子表达？我们还可以让学生进行这样的思考：如果向左盘中加一个重m克的物体后，在下列可能情况下如何用数学式子表达？

情况1：天平向左倾斜；

情况2：天平向右倾斜；

情况3：天平平衡或向右倾斜；

情况4：天平平衡或向左倾斜；

情况5：天平不平衡.

教师可以引导学生尝试利用“＞”“＜”“≤”“≥”“≠”表示以上5种可能，用数学的语言去表述.在此基础上，让学生进行探究交流.

（1）议一议：以上式子有什么特点？

（2）你还能举出其他具有不等关系的实例吗？

最后让学生用语言概括不等式概念：以上这些用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.

在方程、不等式、函数的建模教学中，我们一般的做法是先展示一些相关实际问题，让学生尝试说出（或写出）表达式，然后再去找出其一般性的规律特点.不仅要让学生说出表达式的内容，还要说出理由.但当下学生不愿张口说话已经成为课堂中很常见的一种现象.其中的主要原因有三种：一是学生自身的原因，是羞于说话等一些非智力因素；二是学生缺少课堂表达的机会，动口说话的能力渐渐弱化；三是教师未重视数学语言的教学，使得学生难以规范运用数学语言表达数学问题.因此，教师应该首先在课堂中强化激励机制，进行正面的引导，让学生不羞于说话，而是积极发言；其次，要给学生多一些表达的机会，让不同的学生都有话说，让学生拥有课堂上的话语权，让课堂成为学生表达观点、放飞思维的场所；三是要加强数学语言的教学，让学生能用数学语言有条理、准确地阐述观点，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论，揭示问题的数学本质.

三、培养动脑能力，用数学的思维去分析问题和求解模型

思维是数学的灵魂，没有思维，数学就失去了生命和活力.以思维为基础，能力提升才能得到有效的落实.章建跃先生认为，从数学育人的出发点和归宿来看，数学教学应注重思维教学，培养学生的理性思维，发展学生的理性精神，这是根本.数学的思维可以使学生对事物进行正确的判断和分析，形成数学学科特定的认识世界和改造世界的世界观和方法论.在数学建模的教学中，学生可以通过信息的重组，获取解决问题的有效信息，并做出合理的假设和推断.能根据问题情境中的信息提出数学问题，能通过分析情境中的数学关系，发现内在联系，构建数学模型，并运用知识、方法等解决非常规问题.

在过去的不等式教学中，我们重视的是对不等式定义、不等式类型等显性知识的教学，忽视了对程序性知识和策略性知识等隐性知识的学习.缺少了不等式概念形成的过程性教学，学生的思维能力未得到有效培养.而现在，我们可以让学生从生活情境中，把数量之间多与少的关系抽象为数之间大与小的关系，逐渐形成对不等式概念的深层理解，从而建立不等式模型.从学生对数学建模的思想体悟来看，符合学生的认知特点的多情境引入有助于学生学习兴趣的调动和数学思维的发生.通过列不同类型的不等式，学生对概念认识会逐渐清晰，直至在头脑中建立起不等式的模型，情境起到了从现实情境到模型化的作用，学生可以去发现、提出、分析、解决问题，培养了学生动脑思考的习惯.

学生的数学学习是学生生活常识的系统化，离不开学生现实的生活经验和学生对此产生的思考.对学生来说，数学知识并不是新知识，在一定程度上是一种旧知识.课堂上的数学学习是学生生活中有关数学现象和经验的升华，每位学生都能从自己现实情况出发，建构属于自己的数学知识.在教学中，教师要注意根据学生的年龄特征和不同学段的要求，培养学生的思考能力，逐步使学生形成模型化素养.

四、培养综合运用能力，尝试基于现实背景验证模型，最终解决实际问题

心理学告诉我们，数学模型（概念）在获得后如不及时巩固与内化就会遗忘.所以运用巩固与吸收内化数学模型（概念）具有十分重要的意义.数学建模是结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，在数学建模教学中不仅要能够建立数学模型，还要能运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型.

例如，“生活中的不等式”综合运用环节有这样两个层次的问题设计.

问题1：表示下列问题中的不等关系.

（1）小李从出版社邮购2本一样的杂志，包括1元的邮费在内总价超过5元，如果设每本杂志x元，则可得不等式__________；（2x+1＞5.）

（2）把5 kg大米分别装在2个同样大小的袋子里，装满后剩余不足1 kg,若设每个袋子装大米x kg,则可得不等式_______；（2x+1＞5或5-2x＜1.）

（3）一个长为2 m的长方形菜地的面积比5 m2少不到1 m2,设该菜地的宽为x m2,则可得不等式______.（2x+1＞5或5-2x＜1.）

问题2：（1）编一道包含不等关系的实际问题，并列出相关不等式；

（2）根据列出的不等式，你还能给它赋予另外一个问题背景吗？

两个不同层次的问题设计呈现了一个事实：不等式模型源于对现实世界的抽象，不同的问题背景可以用同一个不等式表示，相同的不等式也可以赋予不同的问题背景.问题2给了学生广阔的思维空间，教师可以充分发挥学生的积极性和创造性，让学生各抒己见，这样有利于加深学生对不等式数学本质的认识.自然的情境是生活化的，数学模型是形式化的，数学的形式化能从具体生活化的情境中抽象出数量关系，并用符号来表示，将问题进行一般化.一般化超越了具体问题的情境，深刻地揭示了存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平.教师要结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程.

综上所述，在数学建模过程中，学生要把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学模型，建立起反映实际问题的数量关系，最后利用数学的方法去分析、解决问题，这就需要学生具备敏锐的观察能力、精确的语言表达能力、灵活的思维能力和综合的运用能力.这些能力的培养需要教师在数学建模教学中以学生为中心、以问题为主线、以培养学生核心素养为目标，积极调动学生学习数学的积极性，充分发挥学习的主动性，使学生由被动接受转变为主动构建，真正成为学习的主人.要把课堂还给学生，让学生动起来：让学生动眼——多看，动嘴——多说，动脑——多思，动手——多用.让学生不再是整齐划一、举止呆板的“木偶”，而是一个个朝气蓬勃、主动探究、积极学习的生命体.只有这样，学生的数学能力得到了提升，数学建模素养的养成也就水到渠成了.