初中数学概念课型教学的实践与思考—以“不等式及其解集”为例

广东省广州市第二中学(510040) 唐琦

课型,即课的基本类型,旨在通过对每一类课的一般结构特征进行研究,构建课堂教学操作模式,进而提高课堂教学效率.

概念是思维的基本形式,具有确定研究对象和任务的作用,概念的理解和掌握关系到学生基础知识的习得、基础能力的培养.初中数学概念课型是指需要单独设课讲授的、重要的定义性概念课,主要教学任务是使学生掌握所反映的一类事物的共同本质属性,以及运用概念去办事、去解决问题.教学的一般程序为:习得阶段——转化阶段——迁移与应用阶段.但是,学生的认知特点和课的教学目的,往往会影响教学的具体操作,如何提高概念课的教学效率为了众多老师研究的热点.本文结合《不等式及其解集》的教学实践,探索初中数学概念课型的教学,与同行交流.

1.教材分析

本节课的教学内容是不等式的概念和不等式的解集的概念.不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式,是刻画现实世界中量与量之间关系的有效模型,是应用广泛的数学工具.由于不等式所解决的是含有不等关系的问题,这与以前较多讨论的等量关系既有联系又有区别,因此,在教学中要注重类比,充分发挥学习心理学中正向迁移的积极作用,借用学生已有的对方程的认识,帮助学生习得概念.另一方面,不等式的解集的概念是不等式的解的概念的发展,不等式的解是对孤立的数值而言的,而不等式的解集则是对这些数值的整体而言,它们是元素和集合的关系,对初一的学生来说,是认知的难点.因此,在教学中应借助一些通俗易懂的事例进行解释,帮助学生正确理解概念.

2.教学活动及分析

2.1 习得不等式的概念

活动1 创设情景,引起概念学习的兴趣

问题1 是“浪费”还是“合算”?

我们班去一个纪念馆参观,其门票为5元/张,若一次购满50张,则每张4元,班长正准备买43张票时,有的同学却提议买50张,这不是“浪费”吗?

问:浪费是指?合算是指?

问题2一杯水有多重?在小学五年级时,我们就称量过一杯水的重量.

图1

教学分析 问题1用一个常见的生活实例,为引出不等式的概念做准备,同时通过与等式、方程的对比让学生感受不等式的实际意义,激发学生的探究热情;问题2联系小学知识,注重中小学教学内容的衔接,唤起学生的记忆,建构学生的知识框架,引发兴趣,快速入题.

活动2 抽丝剥茧,习得概念

师:观察由上述问题得到的关系式,它们有什么共同的特点?

师生活动:学生七嘴八舌地发言,兴趣盎然,在此基础上,老师引导学生用自己的语言描述,再尝试用文字语言描述,渗透数学语言的转化.再一起归纳:用等号连接的式子叫等式.用不等号“＜、＞、/=、≤、≥”表示不等关系的式子叫做不等式.

教学分析 活动2在前面情境引入的基础上,自然延伸,从实际问题中的等量关系着手,让学生体会文字语言到符号语言的转换,再从情景模型自然地抽象出表示不等关系需要产生新的数学模型——不等式,体会到学习不等式的意义,概括其共性,形成概念.

活动3 转化概念,深化理解

师:在以前的学习中,我们借助等式、一元一次方程、二元一次方程组学习和研究过很多相等的数量的问题,但实际上在现实生活中存在着大量的不等关系.大家观察一下我们的周围,回忆一下我们的日常生活,有哪些不等关系,请给大家举例.

生1:我的身高和同桌的身高不相等.

生2:我这次考试的分数比上学期高.(学生纷纷发言)

教学分析 老师引导学生从熟悉的生活情境找不等关系,让学生发现生活中的不等式,体会数学与生活的联系,深化概念的理解.

活动4 迁移知识,应用概念

1、下列各式中,不等式有哪些?

(1)-2＜5;(2)m+3/=0;(3)7y-5＞3;

(4)2x-3=0;(5)5y-4;(6)3x+2y＜0;

(7)5x-1≤-x+3;(8)-3m+2≥2.

2、用不等式表示

(1)a是正数;(2)a是负数;

(3)a与5的和小于7;(4)a与2的差大于-1;

(5)a的4倍大于8;(6)a的一半小于3;

(7)a的3倍大于或等于1;(8)a与3的和不小于6;(9)a与1的差不大于0;(10)a的1小于或等于-2.4

教学分析 设计的两道练习题,引导学生辨别概念的正例和反例,再让学生用数学符号语言表述并结合定义给予恰当的说明,深化学生的理解,体会数学概念的文字语言表述.

2.2 习得不等式的解集的概念

活动5 精心设计问题,自然生成概念

问题3 问君可知,车速几何?

问题(1)一辆车速是x km/h的汽车在11:20距离A地50km,刚好12:00行驶到A地,车速x为多少?

生4(急不可耐的):要刚好12点到,所以时间是40分钟,我的列式是

问题(2)一辆车速是x km/h的汽车在11:20距离A地50km,要在12:00之前行驶到A地,车速x为多少?

生6:要求是12点前到,所以车要开得更快,所以x＞75.

生8:x取90,120等,不等式都能成立.

教学分析 在解决问题(2)时有学生用具体数据回答,老师顺势提出问题(3),学生积极思考,但很快就发现有很多个解,帮助学生从具体数值上直观感受到解的无数个,为后面解集概念的引入埋下伏笔.值得一提的是问题(1)(2)的解决中有学生从时间的角度入手,列出分式方程(不等式),老师首先对学生进行肯定评价,然后跟学生说目前初一只研究整式方程和不等式,分母含字母的类型后面再深入探究,并鼓励学生课后探讨一番,既保护了学生的热情,又从课堂拓展到课后,体现了教育的机智.

问题(4)我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”,我们能不能说说什么叫不等式的解?

师生归纳:不等式的解:使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

师生归纳:一般情况下,不等式的解有无数个.

生9:当x＞75时不等式都能成立.

师生归纳:不等式所有的解叫做不等式的解集.

师:不等式的解和解集的区别和联系是什么?

在学生充分发言的基础上师生共同归纳:解是一个具体的值,解集是一个范围.解用等号表示,解集用不等号表示.解一般有无数多个,解集只有一个(范围).解是解集的一部分,相当于个人和班级.

师:x=75如何在数轴上表示?x＞75如何在数轴上表示?

老师引导学生总结出在数轴上表示不等式解集的要点:

小于向左画,大于向右画;无等号画空心圆圈,有等号画实心圆点.简记:画数轴,定界点,定方向.

教学分析 本阶段采用问题串的形式,遵循学生的认知规律,层层深入,自然生成概念,在学生充分发表意见后,老师引导学生通过计算、动手验证、动脑思考,初步体会不等式的解的意义以及不等式的解集与方程的解的不同之处.

活动6 迁移与应用,深化概念

(一)简单应用

例1 下列数中哪些是不等式x+3＞6的解?哪些不是?

-4,-2.5,0,1,2.5,3,3.2,4.8,8,12.

例2下列说法正确的是

①4是不等式x+3＞6的解.

②不等式x+3＞6的解是4.

③4是不等式x+3＞6的解集.

④不等式x+3＞6的解集是4.

例3 直接写出不等式的解集,并在数轴上表示

(1)x+3＞6;(2)2x＜8;(3)x-2≥0;(4)≤4.

例4 如图所示的不等式的解集,说出与其对应的不等式的解集.

(二)能力提升

例1 请写出一个不等式,使3是它的一个解,而4不是它的解.

例2 不等式x＜5有多少个解?有多少个正整数解?

例3 当x为任何正数时,都能使不等式x+3＞2成立,我们能否说不等式x+3＞2的解集是x＞0?为什么?

例4 我们班去到一个纪念馆参观,其门票为5元/张,若一次购满50张,则每张4元,班长正准备买x张票时,什么时候买50张更合算.

教学分析 通过由浅入深的练习,让学生经历运用知识解决问题的过程,给学生获得成功体验的空间,激发学生的学习积极性,建立学好数学的信心.拓展延伸的练习,让学生进一步感受新知识的用途,激发学生的学习热情,提高学生的兴趣,有利于优秀学生的成长.

2.3 画龙点睛,升华知识

问题4

(1)什么是不等式?

(2)什么叫不等式的解?

(3)什么是不等式的解集?

(4)怎样在数轴上表示不等式解集?

师生总结归纳:

(1)不等式的三种表示形式(例如x＜-3)

符号语言:x＜-3.

文字语言:小于-3的全体实数.

图形语言:

(2)数学思想:类比的思想,数形结合的方法,集合的思想,数学建模思想

教学分析 通过总结归纳,完善学生已有的知识结构,深化概念理念,提炼数学思想和方法.

3.基于教学活动的思考

3.1 注重知识间的联系,建构知识系统

“不等式及其解集”是中学阶段不等关系学习的起始,是讨论不等关系的数学工具,在整个代数学习中占有相当的地位.从“相等”到“不等”是一个质的飞跃,对初一学生来说,是理解上的一个坎,特别是解集的概念,更是认知的一个难点.教材把“不等式及其解集”安排在初一年级、在学了方程组之后进行,因此,在教学中,我们要注重知识的铺垫和衔接,充分发挥学习心理中正迁移的作用.

本节课教学中,一是注重中小学知识的衔接.初一的学习,既是小学知识的延伸,也是初中数学知识的起点,在教学中,教师要关注中小学知识的衔接.例如,本节课的情景引入中,问题2采用天平直观,联系小学知识,勾起学生的回忆,衔接中小学教学的内容,降低难度,引发兴趣,快速从纵向建构知识联系.

二是注意知识的横向联系.方程与不等式是同属“数与代数”领域内的两部分内容,老师借助学生已有的对方程的认识,运用类比的手段,帮助学生在已有知识基础上以效率较高的方式得到新的提高.例如,问题3类比方程解的概念,由学生熟悉的问题情景,逐步过渡到不等式,得到不等式解的概念,自然流畅.同时,为了防止学习心理中的负迁移,老师安排了巩固练习,通过练习,从正、反方面辨析,应用概念,加深理解.

3.2 智“创”巧“导”,让概念教学更灵性

数学概念是现实生活中数量关系和空间形式的合理抽象,是同类事物本质特征的概括.章建跃博士说:概念教学的核心就是概念,将凝结在数学概念中的数学家的思维打开,以典型丰富的实例为载体,引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性,归纳得出数学概念.如何更有效的习得概念,更灵活地迁移运用概念,需要老师由“教材”、由“学情”,仔细推敲,精心创设情境,巧妙引导,让概念课型的教学更灵性.

本节课包括了两个概念的教学:不等式,不等式的解集.在不等式概念的教学中,教师采用直观体验的方式.创设情景引入,设计了问题1,2,从生活实际例子、天平称重的例子引入,直观形象地让学生感知到不等的概念,再引导学生用自己的语言描述发现,让学生经历了从直观到抽象的概念形成过程.在概念的定义中,老师引导学生用自己的语言描述,再用文字语言描述,再尝试用式子描述不等式的特点,在此过程中,老师潜移默化地渗透数学的严谨性的思想教育,让学生体会数学概念的文字语言表述、符号语言表述,帮助学生习得概念.在形成不等式的概念后,老师进一步引导学生观察周围,回忆日常生活中有哪些不等关系,并举例.这个活动的设计帮助学生把数学和生活实际紧密联系起来,在寻找生活中的不等关系过程中深化概念的理解,也符合学生的认知特点.

在不等式的解集的概念教学中,由于解集(集合)的思想对初一的学生来说比较抽象,解与解集的联系与区别比较难理解,因此,教师按照最近发展区原理,采用互动式的交流方式,步步精心地提问,给学生适时引导,帮助学生梳理思路,有效生成概念.在教学中,教师从方程的解到不等式的解,渗透类比的思想,从具体数值的直观,到用式子表示发现,提炼思维,体验解集的内涵,再进一步引导学生借助数轴表示解集,从数到式再到形,数形结合揭示不等式的解集的概念.从问题(1)到问题(7)教师由浅入深、层层递进的追问,启发学生的思维,让学生充分感知解集的概念,提升思维的深度和广度.

3.3 重视数学思想

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出:“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概念,如抽象、分类、归纳、演绎、模型等”.因此,在概念教学中,教师应重视数学思想方法的渗透,注重对学生数学思想方法的培养,为学生持续学习和发展奠基.“不等式及其解集”的概念中蕴含了类比的思想、模型的思想,在概念教学时,老师应重视.

例如,在不等式解的概念中,老师设计问题串,探究“汽车速度”,从“刚好”、“12:00之前”的实际问题中,引导学生“如何理解?”“怎么表述?”,再提炼出数学模型:发展学生建模的意识,同时在理解问题情境、分析其中的不等关系、设未知数、列不等式的过程中,把思想转化为具体的步骤,培养学生转化化归的思想.

又如,在活动6的练习设计中,渗透化归的思想,帮助学生从数值上巩固对不等式的解的概念的理解,体会数学符号语言表述、文字语言表述、图形语言表述;从图形上巩固对不等式的解集的概念的理解,从形到数,渗透数形结合思想.促进学生将习得的概念,转化为办事的技能.

“不同类型的学习结果需要不同类型的教学”,不同的课型有不同的教学模式.相同的课型但不同基础的学生也有不同的教学方式,教学有模,但无定法.概念是初中数学的核心问题,概念课的教学是初中数学教学的重要课型,课堂的打造、效率的提升,吸引着众多老师孜孜以求、不倦探索,为初中数学课堂教学的研究引来了活水,让课堂焕发出灵性的光芒.