基于APOS理论的高中数学概念教学案例设计*—以“任意角”的概念教学为例

江苏省扬州大学(225002) 濮安山 丁嘉雯

数学概念是数学教学的逻辑起点,是学生认知的基础,是学生进行数学思维的核心,因而理解概念是一切数学活动的基础,概念不清就无法进一步开展其它数学活动,可见概念教学在数学教学中具有举足轻重的地位.然而,当前忽视概念教学,取而代之应试解题的现象十分普遍,尤其在高中,许多教师认为:概念就是一种规定,记忆是主要的,所以常常采用“一个定义,几项注意”的方式“灌输”概念,这样的教学效果可想而知:学生变成了解题机器,只知其然而不知其所以然.因此,寻求新的有效的概念教学法是高中数学教与学的迫切需要,也应是广大高中数学教师的不懈追求.基于上述背景,本文将基于指导概念教学的重要理论–APOS理论,以三角函数的开篇和基础–“任意角”为例,尝试对高中数学概念教学进行探索,以期获得一些启发.

一、APOS理论概述

任何一个数学教育中的理论或模型都应该致力于对“学生是如何学数学的”及“什么样的教学计划可以帮助这种学习”的理解,而不仅仅是陈述一些事实.基于这样的考虑,1991年美国数学家、教育家杜宾斯基等人提出了APOS理论:APOS分别是由英文action(操作)、process(过程)、object(对象)和scheme(图示)的首字母所组合而成.APOS理论是源于杜宾斯基试图对皮亚杰(Piaget)数学学习的“自反抽象(Reflective Abstraction)”理论进行拓展的一种尝试.杜宾斯基认为,在数学学习中,如果引导个体经过思维的操作、过程和对象等几个阶段后,个体一般就能在建构、反思的基础上把它们组成图式,从而理清问题情景、顺利解决问题,因而学生学习数学概念要经过“活动”、“过程”、“对象”、“图式”四个阶段:

1.第 一阶段–活动(或操作)(Action)阶段

数学来源于实际,并应用于实际.为更好地理解这些数学概念需要还原操作或活动,要引导学生化身为数学家,通过实践活动来获得知识,而这些操作和活动过程恰恰就蕴含了数学概念的本质特征,是学生最需要知晓的部分.作为教师,可通过创设问题情境,让学生进行实际体验,与已获得的知识进行联系和比较,引发学生的思考,引起思维和认知冲突,这样便使学生获得了对问题的初步认识.因此这一阶段的学习是学生建构数学概念的起点.

2.第 二阶段–过程(Process)阶段

在此阶段杜宾斯基认为学生需要掌握一种特殊的能力:内化和压缩.在“活动阶段”学生获得了直观感知,随后的这一阶段,就要对其进行组织和处理,经历观察、联想、归纳等过程,加之思考,实现知识的“再创造”.此阶段中应引导学生将具体问题抽象化,形成抽象思维,抽象出概念所特有的性质,该阶段进行的顺利与否将直接影响下一阶段概念的概括和生成,因此第二阶段是学生概念学习的关键阶段.

3.第 三阶段–对象(Object)阶段

概念发展到了对象阶段,已不再是历时的程序、算法步骤了,而是呈现一种共时的形态,一种结构,一个抽象的整体.该阶段表现为个体通过前面的抽象,认识到了概念的本质,进一步对概念进行严格定义,并进行数学符号化表示,成为一个具体的对象,在以后的学习中能够以此为对象进行新的活动.所以,“对象”在某一个层次和更高一级层次之间起着一种枢纽作用:既是概括的结果,又是新的概括的起点.

4.第 四阶段–图示(Scheme)阶段

经过前三个阶段,概念此时作为对象,是学生整个认知结构的一个节点,它需要与认知结构中其他知识节点构成的知识网络逐渐建立联系,形成新的知识网络,即学生对前面几个阶段的经历及大脑中原有相关方面的问题图式进行不断的整合、精致,最终形成综合的图式结构,从而应用到数学实际中去.这样通过持续的建构,学生的思维认知水平才能上升到更高的层次,对数学概念的理解和认知会进一步深化.值得一提的是,有的数学概念的学习,一两次的“APOS”是不能形成完整的“图式”的,如“函数”概念的学习是一个复杂而困难的过程,学生在初中、高中和大学都需要经历不同程度的概念建构.

APOS理论被引入到我国的数学教育界,是为数不多的依据数学学科特点而建立的教学理论.与传统的数学概念教学相比较,APOS理论教学更能体现“学生主体,教师主导”的建构主义理念,更符合学生的认知特点,揭示了数学概念的学习是循序渐进的建构过程,应值得重视和深究.

二、“任意角”教学设计为例来探讨APOS理论的应用

苏教版教材中“任意角”是必修四第一章三角函数的第一节第一课时,这是对初中锐角三角函数的一个延伸和推广的概念课,也是对集合与函数的知识的又一渗透,所以本节课起着一个铺垫和承上启下的作用,为今后学习任意角的三角函数提供依据.

1.活 动阶段

教师在复习过初中角的定义(静态定义)以及分类后,提出以下问题:

问题1我们以前所学的角都是在[0◦,360◦]范围里,那么生活中的角是不是都在这个范围呢?(教师出示钟作为教具,学生拿出事前准备的纸质钟)现在是北京时间8点20分,老师手里的时钟才6点55分,请拨动分针调整到正确时间,并思考两个问题:

(1)分针在运动过程中是否形成角;

(2)若形成角,在旋转过程中转了几度?

(请学生通过教具演示后回答)

师生活动:根据已学的知识,由于成角的过程是运动的,无法找到两条静止的射线,所成角超过了初中的认知范围[0◦,360◦],而且角有方向,有必要将角的概念推广到任意角,那用什么办法才能推广到任意角呢?(运动)

设计意图 主要通过让学生动手演示观察,在活动中激发学生发现问题、解决问题的能力.角的概念初中已有定义,以此为“生长点”,基于已有认知而又高于已有认知,形成认知冲突,启发学生思考,激发学生学习兴趣.

2.过 程阶段

角的概念的推广

(1)“旋转”形成角,如图1

图1

角的定义:平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.射线的端点称为角的顶点,射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边.如图1,旋转形成的角α,点O是角α的顶点,射线OA和OB分别是角α的始边和终边.

问题2 如果现在是北京时间8点45分,再次调整时间,观察旋转成角的方向.(请学生通过教具演示)

师生活动:请学生不断演示将时钟调快和调慢10min、30min、50min,观察不同的旋转方向(逆时针或顺时针),大小相同的角因为方向不同而不同.

问题3 请同学们自行建构,如何区别定义按逆时针和顺时针的角?

师生活动:鼓励学生根据已有知识,大胆发言,交流意见.

问题4 有同学会疑惑为什么顺时针为负角,逆时针为证角呢?

师生活动:邀请两位同学上台演示转一圈,多为向左转一圈(同学课后也可自己演示),由此得出生活中生物的本能确定逆时针为正,因此定义按逆时针方向旋转所形成的角,叫做正角;按顺时针方向旋转所形成的角,叫做负角;如果射线没作任何旋转,那么也把它看成一个角,叫做零角.

如图 2,以 OA 为始边的角 α =210◦,β =-150◦,γ =660◦.

图2

用“旋转”定义角之后,角的范围推广到任意角了,它包括任意大小的正角、负角和零角.正角和负角是表示具有相反意义的旋转量,它的正负规定纯系习惯,就好像与正数、负数的规定一样,零角无正负,就如同数零无正负一样.

设计意图 此过程与学生实践紧密结合,使学生亲身体验正负角的差异性,此即概念生成的过程.

3.对 象阶段

问题5 我们知道了任意角的概念,理解了正角、负角和零角,那么该如何来研究它呢?(简便、统一、实用)

师生活动:师生共同讨论,根据已学的函数,知道函数的图象都是通过平面直角坐标系来研究的,那么也在平面直角坐标系中来讨论角,从而得出象限角的概念:将角的顶点和坐标原点重合,始边与x轴的正半轴重合,角的终边(除顶点外)在第几象限,就把这个角叫做第几象限的角(或说这个角在第几象限).如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限,或称这个角为终边落在轴上的角.

问题6下列各角:

(1)-50,405,270,-30,330,-390分别是第几象限角?

(2)并且思考其中-30◦,330◦,-390◦这些角间有什么内在的联系?

师生活动:学生回答完问题(1)后,由学生观察,发现330◦,-390◦它们的终边都与-30◦的终边相同,共同探究终边相同的角的集合表示,即所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合:S={β|β = α+k·360◦,k ∈ Z},教师有必要讲解注意点○1k∈Z;○2α是任意角;○3“+”号连接;○4终边相同的角不一定相等,但相等的角,终边一定相同;终边相同的角有无数多个,它们相差360◦的整数倍.

设计意图 象限角推出是通过一道例题来完成,这样可以在检验学生前面知识点的同时,让学生在例题中发现探索,从而自然过渡到象限角.该阶段归纳明晰对象,强调了学生的主动积极性,也锻炼了学生的数学言语表达和归纳能力.

4.图 示阶段

练习1下列命题:○1第一象限角都为锐角;○2第二象限角大于第一象限角;○3小于180◦的角是钝角、直角或锐角.其中错误命题的序号为.

练习2-1120角是第几象限角?与-1120角终边相同的最小正角是多少?最大负角是多少?

问题7通过本节课你感觉自己学到了什么?

师生活动:先给学生时间完成练习,必要时进行适当提示,再鼓励学生发言交流本节课收获.

设计意图 练习1为象限角的理解而设计;练习2为终边相同的角理解与应用而设计;问题7由学生总结本节课知识点,唤起学生对原有知识的回忆,自觉地找到新旧知识的联系,使新学知识更牢固,理解更深刻,形成心理图示.

三、结束语

在教学实践中,要实现课堂教学从“灌输式”到“建构式”的转变,需要教师在教学设计时精心设计情境引入和问题串,在教学过程中留给学生足够的思考和探究的时间,让学生“变身”数学家,因为学生对知识真正意义的理解与建构是建立在亲历操作的基础上的.APOS理论为高中概念教学提供了一个操作层面的指导,让学生在“操作(A)阶段”中体验、在“过程(P)阶段”中感悟、在“对象(O)阶段”中归纳、在“图式(S)阶段”中升华.总之,APOS理论对数学概念教学有一定的借鉴作用和参考价值,值得我们教师反思与探究.