一类Schrödinger-Kirchhoff-Possion系统的非平凡解

吕利梅， 王淑丽， 郭祖记

(太原理工大学 数学学院， 山西 太原 030024)

本文主要应用变分法讨论如下Schrödinger-Kirchhoff-Possion系统

非平凡解的存在性, 其中a>0,b≥0 是常数,λ>0 是参数, 2

近年来, 形如问题

(1)

及类似问题已被众多的学者广泛研究[1-5]. 这些问题有着强烈的物理背景, 它们出现在量子力学及半导体理论中, 将带电粒子和电磁场的相互作用通过Schrödinger 方程耦合Possion方程来描述. 对于更多的物理背景可参见文献[6-7]. 当q>0时, 许多学者研究了问题(1)解的存在性和多重性[1-3], 也有一些文章研究q<0时解的存在性. 如文献[4-5]中, 作者分别研究了当q<0,f(x,u)=a(x)|u|p-2u时, 问题(1)正解和正基态解的存在性.

定理 1 当p∈(2,4]且λ充分大或p∈(4,6)时, 问题(SK)

存在非平凡解.

本文第1部分主要介绍一些预备知识, 第2部分则介绍主要结果及其证明过程.

1 预备知识

1) 对任意的z∈R3,ρ>0,Bρ(z)为以z为球心 , 以ρ为半径的球.

2) 对任意的s∈[1,+∞), |·|s表示Lebesgue空间Ls(R3)中的通常范数.

3) 对固定的a>0, 在通常的Sobolev空间H1(R3) 中, 定义其上内积和范数分别为

4)D1,2(R3) 是C0∞(R3)关于如下范数的完备化空间

7)Ci,i∈N， 表示不同的正常数.

由Lax-Milgram定理, 存在唯一的φu∈D1,2(R3), 使得对于所有的v∈D1,2(R3),

即φu是方程-△φ=u2的弱解, 并且

(2)

显然φu是有界连续的[8]且具有如下性质.

引理 1[8-9]对于任意的u∈H1(R3), 有:

3) 如果在H1(R3) 中un⇀u, 那么在D1,2(R3) 中φ{un}⇀φu, 且对任意的v∈H1(R3),

φununvφuuv.

将式(2)代入问题(SK)的第1个方程, 得

φuu =

λ|u|p-2u+u5, x ∈ R3.

(3)

式(3)是可变分的, 其能量泛函I∶H(R3)R为

显然,I∈C1且对任意的u,v∈H1(R3),

因此, 如果u是I的临界点, 则(u,φu)是问题(SK)的弱解, 其中φu由式(2)给出.

引理 2 (山路引理)[10]设X是Banach空间,I∈C1(X, R)满足

1)I(0)=0且存在正数ρ和α, 使得I|∂Bρ(0)≥α；

I(un)c≥α,I′(un)0,

其中

Γ={γ∈C([0,1],E)|γ(0)=0,

I(γ(1)) <0}.

引理 3 (极小极大原理)[11]设X是一个Banach 空间，M0是距离空间M的闭子空间，Γ0⊂C(M0,X). 定义

Γ∶={γ∈C(M,X)∶γ|M0∈Γ0}.

如果φ∈C1(X,R) 满足

1)c-2ε≤φ(u)≤c+2ε；

2) dist(u,γ(M))≤2δ；

3) ‖φ′(u)‖≤8ε/δ.

2 主要结论

引理 4 设u∈H1(R3) 是方程(3)的一个弱解, 则u满足下列Pohožaev恒等式

(4)

证明 证明方法为标准方法[12]， 此处省略.

引进流形

M∶={u∈H1(R3){0}∶G(u)=0},

其中

证明 对任意的u∈H1(R3){0}, 记g(t)=I(ut), 则

引理 6I有山路引理的几何结构.

证明 i) 显然,I(0)=0. 由引理1(1)和Sobolev嵌入定理,

I(u)=

因为20,α>0, 使得

C3‖u‖6≥ α, ‖u‖=ρ.

ii) 固定u∈H1(R3){0}, 则对t>0,

因此, 存在t0>0, 使得I(ut0)<0且‖ut0‖>ρ. 记e=ut0, 则‖e‖>ρ,I(e)<0.

定义I的山路值为

(5)

其中Γ∶={γ∈C([0,1],H1(R)3)∶γ(0)=0,I(γ(1))<0}.

引理 7 存在序列{un}⊂H1(R3), 满足

I(un)c,I′(un)0,G(un)0,

(6)

其中c由式(5)给出.

证明 定义映射Φ∶R×H1(R3)H1(R3) 为记则

下面将利用引理3证明: 存在序列{(θn,vn)}⊂R×H1(R3), 满足

(7)

(8)

θn0.

(9)

记un=Φ(θn,vn), 则式(7)蕴含I(un)c. 对于任意的(h,ω)∈R×H1(R3),

Φ(θn,ω)〉+G(un)h,

(10)

在式(10)中取h=1, ω=0, 则G(un)0.

即I′(un)0，

则有下列结果.

引理 8 c=c1=c2.

证明 证明参观文献[13]引理2.6.

引理 9 当p∈ (2,4] 且λ充分大或p∈(4,6),

(11)

(12)

这蕴含着

(13)

由式(11)～(13)知, 当ε>0 充分小时, 存在与ε无关的正数t1, 使得tε≤t1. 下证存在与ε无关的正数t2>0, 使得对充分小的ε>0,tε≥t2. 若不然, 则存在εn0 使得tεn0. 因此, 在H1(R3) 中, (vεn)tεn0, 结合引理8和引理5可得

这是个矛盾.

(14)

定义

所以

(15)

因此, 由式(14)～(15)可得

(16)

由于

结合式(12)， 式(16)和t2≤tε≤t1可得

(17)

所以, 对充分小的ε>0, c

引理 10 满足式(6)的序列{un}⊂H1(R3)有界.

证明 由式(6)有,

即证得序列{un}在H1(R3) 中有界.

引理 11 存在序列{xn}⊂R3,r>0,β>0使得

其中{un}⊂H1(R3) 满足式(6).

证明 假设引理结论不成立, 则由消失引理(参见文献[11]引理1.21), 对一切2

(18)

(19)

令

(20)

很明显l1≥0,l2≥0. 现在证明l1>0. 若l1=0, 即在H1(R3) 中有un0, 这与c>0 矛盾. 由式(18)～(20)可以得到,

根据S的定义, 有

在上面2个不等式中, 令n∞, 则

因此,

这与引理9矛盾, 即证.

定理1的证明 设序列{un}⊂H1(R3) 满足式(6),c由式(5)给出. 定义

vn(x)=un(x+xn),

其中{xn}为引理11中所给序列. 由引理10, 存在v∈H1(R3)， 满足

(21)

由引理11，v是非平凡的. 而且,v满足

-(a+bA2)△v+v=φvv+λ|v|p-2v+v5,

(22)

且

下证G(v)=0. 假设G(v)<0, 则存在唯一的0

(23)

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