点猜想与线猜想

摘 要：在平面上给出n个点（不共线，n>1），且任意兩点之间都有直线相连，记此图为Gn，点猜想称Gn中至少有一条直线仅过两个点。在空间作n条平行线（不共面，n>2），任意两平行线确定一个平面，记此立体图为Vn，线猜想称Vn中至少有一个平面，其上仅有两条平行线。本文对“点猜想”做了介绍，然后将它拓展为空间中的“线猜想”，加以论证，并给出了几个相关的结论。

关键词：点；直线；平面；空间；Gn；Vn；点猜想；线猜想

一、 点猜想

点猜想是一个有着传奇色彩的猜想。它诞生于一百多年前，内容简单明了，甚至一个小学生都可以看明白。有趣的是它引起了很多数学家的关注，并力图攻克它，但是都以失败告终。

本文将对“点猜想”做简单介绍，并给出相关结论，然后再拓展到三维空间，得到“线猜想”。

我们首先看点猜想的相关定义：

定义1 在平面上给出n个点（不能共线），且任意两点之间都有直线相连，称此图为Gn。点猜想即为：

定理1 （点猜想）Gn中至少有一条直线，其上面仅有两个点。

图1中有4个点，4条线，其中3条线上只有两个点；图2有5个点，6条线，其中有4条线上只有两个点。

从点猜想被提出，几十年过去了，数学家们没有找到答案。在被认为是一个无法攻克的大难题时，一个非常巧妙、非常简洁的证明诞生了。它只涉及了简单的几何知识，只不过多用了几分计谋。

下面我们看简单有趣的证明。

证明：首先，我们对每一点作出其到最近的直线之间的距离（通过它的直线不算在内），然后选择所有距离中最短的那个，不妨设此最短距离由点

O和直线L确定，则L上至少有Gn中的两个点，设为A，B，我们可以很容易证明L上仅有A，B两个点。

反正法：假设L上还有第三个点C，则由点C与点O可以确定Gn中的一条直线OC，我们分两种情况证明结论。

（1）点C在线段AB之外。

此时可作点B到直线OC的距离BF，显然两个直角三角形Rt△CEO与Rt△CFB相似，且BF

（2）点C在线段AB之内。

非常显然，此种情形与（1）的证明类似。

点猜想或者还有其他多种证明方法，待感兴趣的人们去探究。

下面我们来看关于点猜想的几个结论。

引理1 当n≥4时，若Gn中至少有n-2个点共线，则Gn中至少有n-1条直线上仅有两个点。

证明（1）若Gn中有n-1个点共线，显然，Gn中有n-1条直线上仅有两个点，如图5。

（2）若Gn中只有n-2个点共线，则当n=4时，Gn中所有直线上都只有两个点，共有6条，结论得证，如图6。

当n>4时，分两种情形，<1>剩余的两个点与此n-2个点中的某一个共线，如图7，此时Gn中有2n-4条直线上仅有两个点，且2n-4>n-1。

<2>剩余的两个点与此n-2个点中的任意一个都不共线，如图8，此时Gn中有2n-3条直线上仅有两个点，2n-3>n-1。

定理2 当n≥3时，Gn中至少有两条直线上仅有两个点，或者有一条直线上仅有两个点，还有一条直线上仅有三个点。

证明当n=3时，结论显然成立。

当n>3时，由定理1知，Gn中至少有一条直线上仅有两个点，设为A，B，将此A，B两个点以及与其相关联的直线全部去掉，则有以下两种情形：

（1）剩余的n-2个点共线。

根据引理1，Gn中至少有n-1条直线上仅有两个点，n-1>2。

（2）剩余的n-2个点不共线。

此时，添上一些直线，可得到一个Gn-2。并且显然，此Gn-2中的直线都在此Gn中。由定理1可知，Gn-2中至少有一条直线l上仅有两个点。若点A，B都不在l上，则Gn中至少有两条直线，其上仅有两个点。若点A，B中有一个点在l上，则Gn中有一条直线，其上仅有三个点。此时即为，Gn中有一条直线，其上仅有两点，还有一条直线，其上仅有三点。并且A，B两点一定不会全部都在直线l上，因为直线AB上仅有两个点。

二、 线猜想

显然，点猜想为二维空间中的结论，我们将其拓展到三维空间中，即有如下结论。

定义2 设三维空间中有n条平行线（不共面，n>2），将任意两平行线所确定的平面一一画出，称此立体图为Vn。

线猜想即为：

定理3 （线猜想）Vn中至少存在一平面，其上只有两条平行线。

证明：对Vn中每条直线作到与它距离最近的平面的垂线，取距离最短者，设此直线为l，此平面为α，下面用反证法证明α上只有两条平行线。

假设α上有三条平行线l1，l2，l3，其排列次序依次为l1，l2，l3，并设它们与l所确定的平面依次为β1，β2，β3。作PA⊥α，其中P∈l，A∈α，下面分两种情况讨论。

情形一：A∈l2（如图9），过点A作AC⊥β3，垂点为C，则△ACP是直角三角形，所以AC

情形二：Al2（如图10），则A在l2的两侧，并且有两种情形，或者到l1的距离大于到l3的距离，或者到l3的距离大于到l1的距离。不妨设A到l3的距离大于到l1的距离，在l2上任取一点E，作EF⊥β3，垂点为F，由于点A到l3的距离大于点F到l3的距离，所以EF

引理2 当n≥4时，若Vn中至少有n-2条线共面，则Vn中至少有n-1个面上仅有两条平行线。

证明若Vn中有n-1条线共面，顯然，Vn中有n-1个面上仅有两条平行线。

若Vn中只有n-2条线共面，当n=4时，显然，Vn中所有平面上都只有两条平行线。当n>4时，Vn中的n-2条线共面S1，另外两条线l1，l2不在S1上，它们构成S2，则有两种情形。

（1）S1上的n-2条线都不在S2上，此时，Vn中有2（n-2）+1个面上仅有两条平行线。

2（n-2）+1=2n-3>n-1

（2）S1上的n-2条线中有一条在S2上，此时，Vn中有2（n-3）个面上仅有两条平行线。

2（n-3）=2n-6>n-1

定理4 当n≥3时，Vn中至少有两个平面上仅有两条平行线，或者有一个平面上仅有两条平行线，另一个平面上仅有三条平行线。

证明当n=3时，显然Vn中的3个平面上仅有两条平行线。

当n>3时，设某平面上仅有两条平行线l1，l2。若剩余的n-2条线共面，则根据引理2，Vn中至少有n-2（≥2）个平面上仅有两条平行线。

若剩余的n-2条线不共面，则可构成Vn-2，并且显然Vn-2中的平面都在Vn中，根据定理4，Vn-2中至少有一个平面S上仅有两条平行线。若l1，l2不在S上，则Vn中至少有两个平面上仅有两条平行线。若l1，l2中有一条在S上，则S上仅有三条平行线，Vn中至少有一个平面上仅有两条平行线，还有一个平面上仅有三条平行线，并且显然l1，l2不会全部在S上。

定理5 当n>3时，若Vn中只有一个平面上仅有两条平行线，则Vn中有两个平面上仅有三条平行线，或者还有一个平面上仅有四条平行线。

证明当n≤5时，可以很容易验证，Vn中仅有两条平行线的平面不止一个，所以下面仅需考虑n>5时的情况即可。

设Vn中只有一个平面上仅有两条平行线l1，l2，将此l1，l2以及与其相关联的平面去掉，剩余的n-2条平行线一定不共面。否则根据引理2，Vn中仅过两条平行线的平面大于一个，与前提矛盾.于是剩余的n-2条平行线上再添加一些平面，即可得到Vn-2。根据定理4，有两种情况：（1）Vn-2中有两个平面，其上仅有两条平行线。

（2）Vn-2中有一个平面上仅有两条平行线，还有一平面上仅有三条平行线。

对于（1），直线l1，l2一定分别在这两个平面上，否则Vn中仅过两条平行线的平面大于一个，与前提矛盾。所以，Vn中有两个平面，其上仅有三条平行线。

对于（2），设Vn-2中仅过两条平行线的平面为S1，仅过三条平行线的平面为S2，则l1，l2两条直线中一定仅有一条在S1上，否则与前提矛盾。若另一条不在S2上，则Vn有两个平面，其上仅有三条平行线，若另外一条直线在S2上，则有一个平面，其上仅有四条平行线。

定理4，5表明，当n≥3时，Vn中仅过两条平行线的平面或者大于一个，或者仅有一个。若只有一个，则Vn中一定至少存在一个仅过三条平行线的平面，若只有一个仅过三条平行线的平面，则一定至少存在一个仅过四条平行线的平面.由此可得，关于平面与平行线具有递推关系，我们仍可以继续往下论证。

参考文献：

[1]西蒙·辛格，薛密译.费马大定理[M].上海：上海译文出版社，1998.

[2]伊姆雷·拉长托斯，方刚，兰钊译.证明与反驳：数学发现的逻辑[M].上海：复旦大学出版社，2007.

[3]克莱因，朱学贤等译.古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社，2002.

[4]王美艳.关于点猜想的几点注记[J].菏泽学院学报，2008.

作者简介：王美艳，江苏省苏州市，苏州工业园区服务外包职业学院。endprint