椭圆及其标准方程教学设计

摘 要：在新课改的要求下，该设计本着以学生为主，主要采用学生动手探究的方法，在活动中探索新知，结合多媒体展示，使用几何画板画制椭圆的图像，引导学生推导出椭圆公式。

关键词：探究；发现；推导

一、 设计背景

随着教材、教学、高考的改革不断深入，高中数学教育对教师的要求已进入了一个新的时期。传统教学中，学生被动接受教师灌输的知识，限制了学生的思维，也限制了老师的主导作用。那么如何关注学生的发展，构建有效课堂，是我们一线老师需要思考的。站在学科的高度，从整体和联系的观点，本着高效、创新的理念，我设计了这节课。

二、 学情分析

本节是北师大版选修2-1第三章圆锥曲线第一节椭圆的第一课时，是本章的重点内容。在高考中也是重点考查内容之一。学生前面已经掌握了“圆及其标准方程”的知识，本节是作为承上启下的重要内容，既类比圆的探索过程，又为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。

三、 教学用具

1. 多媒体课件。

在课件中使用几何画板向学生进行动画展示：（1）篮球在阳光下的投影；（2）画椭圆的过程。

2. 学生手动画图工具：木板、线、图钉、白纸。

四、 教学过程

（一） 课件展示、引入新课

课件展示太阳系运行图，先让学生感受星空的壮丽，观察行星运行的轨道图形，认识椭圆，感受椭圆的对称美。然后让学生举生活中的椭圆，我再用课件展示我所发现的生活中的椭圆的例子。教师与学生互动，生活中的实例及多彩的多媒体图片可激发学生的学习兴趣，充分调动学生主动参与的积极性。引出课题，带领学生去探索这个美丽的图形。在这里，从生活中的实例入手，体现了“数学源于生活，又高于生活”的本色。

（二） 动手画图、得出结论

1. 课件展示篮球在阳光下的投影模型动画，让学生感受几何画板的魅力，在这个模型中，教师引导学生发现椭圆的定义，并实际动手操作，自己画椭圆。

2. 学生实验：三人一组，每组一块木板，一根无弹性的绳子，两颗图钉。结合圆的作图方法和刚才发现的椭圆的定义，动手画图。画图的过程中，老师引导学生固定两点，用笔尖勾直线，移动笔尖，观察得到的轨迹是什么图形。

3. 学生画好之后老师也参与其中，使用几何画板画出椭圆，激发学生的兴趣。然后老师提问：刚才在画图的过程中，线的长度一定说明什么？学生回答：笔尖到两定点的距离之和为定值。老师使用计算机，利用几何画板展示测量，从数据上来看看是否和为定值。发现结果一致从而引导学生得到椭圆的定义。在这个过程中，让学生从实践中体会椭圆上的点所满足的条件，逐渐把图形语言转化为文字语言。当学生定义不准确时，不否定学生，以提问的方式提醒学生注意定义中的关键词，引导学生继续探索。例如：距离之和的常数不大于两定点之间的距离，会怎样？让学生利用手中的工具，动手操作，通过不断的移动两点的距离，画出扁圆程度不同的椭圆，从而得到结论：当2a=2c时画出的是线段；当2a<2c，画不出图形；通过这样的实践，让学生理解条件2a>2c。

（三） 合理建系、推导方程

椭圆标准方程的推导是本节课的难点。回忆圆的标准方程的推导过程，总结步骤：建系→设点→列式→化简。类比圆的方程的推导过程，先引导学生如何建系。在这里，我尽可能的给学生建系的机会，利用课件展示学生可能出现的建系情况，发挥学生的直觉思维，在比较的过程中发现最优的建系方法，体会对称和简洁美。

建好坐标系（焦点在x轴），学生可以自主完成设点、列式，在化简的过程中，学生会出现困难的地方是在写出方程（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a后，需要进行化简时。有的同学会出现直接平方的现象，教师应鼓励他继续，发现矛盾：直接平方，左边会出现更大的根号运算；寻求解决问题的方法：先移项，得到

（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2再进行平方，化简后得到

a2-cx=a（x-c）2+y2，再次平方，根号就没有了。让学生到台上使用投影仪展示他推导的过程。

除了学生推导的方法外，我又引导学生发现其他的推导方法，解法2：启发学生观察（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a（1）左边的式子的特点，将分子有理化，即可得到

（x+c）2+y2-（x-c）2+y2=2cxa（2），然后进一步引导学生发现，将（1）式减（2）式，得到（x-c）2+y2=a-cxa（3），这样，我们就将两个根号转化成一个根号了，体现了化归与转换的数学思想，然后两边平方。在这里，进一步拓展学生的知识面：在數学中，（2）式是（1）式的对偶式，在这里用了数学里的对偶思想，而（3）式进一步可以得到椭圆的第二定义。在这里主要想培养学生的探究能力，发现式子中的矛盾，并想办法解决。解法3：由已知等式（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a，引导学生发现：（x-c）2+y2，a，（x+c）2+y2构成等差数列，设此等差数列的公差为d，则

（x-c）2+y2=a-d（3）（x+c）2+y2=a+d（4），将（3）（4）分别平方相减得

d=cax，即（x+c）2+y2=a+cax，然后两边平方整理即可。得到焦点在x轴的标准方程后，同理再得到焦点在y轴的标准方程。

在本节课的最后由学生进行反思和评价。由学生谈学习本节课的最大收获，可以是知识上的，也可以是方法能力上的。

五、 教学反思

1. 本节借助几何画板的演示功能，使学生通过点的运动，观察到椭圆的轨迹的特征。多媒体创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。

2. 学生虽然对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关。本节课从实例出发，用多媒体结合本课题设计了一对动点有规律的运动作一些理性的探索和研究。

3. 在教材处理上，大胆创新，根据椭圆定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围。在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主地“建系”，通过所得方程的比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美。在对教材中“令a2-c2=b2”的处理并不是生硬地过渡，而是通过课件让学生观察在当M为椭圆短轴端点时（但这一几何性质并不向学生交待），特征三角形所体现出来的几何关系，再做变换。

参考文献：

[1]张映姜.欣赏圆锥曲线，体验历史文化[J].数学通报，2012，（11）：41-43.

[2][英]怀特海：教育的目的.[M]。徐汝舟，译.生活·读书·新知三联书店，2002：1.

[3]朱小蔓.教育的问题与挑战[M].南京：南京师范大学出版社，2000：179.

作者简介：

张海静，安徽省阜阳市，阜阳市第五中学。endprint