应用函数与方程思想培养数学核心素养

方彤

【摘要】函数与方程思想是解高中数学题的一种重要思维策略，通过应用举例分析，诠释两种思想在解题中的必要性和简洁性.

【关键词】核心素养；函数；方程；高中数学

数学学科核心素养的培养，要通过学科教学和综合实践活动来实施，函数与方程是高中数学最重要的内容，也是大学相关课程的基础知识.与函数概念有必然联系的是方程，方程思想与函数思想密切相关.方程的问题可以转化为函数的问题，反之，函数的问题也可以转化为方程的问题.

一、函数与方程思想的相关知识点

1.函数与不等式的相互转化.对函数y=f（x），当y>0时，就化为不等式f（x）>0，借助函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.

2.数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.

3.在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来求解.

4.解析几何中的许多问题，如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这涉及二次方程与二次函数的有关理论.

5.立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.

二、应用函数与方程思想培养数学核心素养

一般认为，“数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的公民的需要而具备的认识，并理解数学在自然、社会生活中的地位和能力，做出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力.”可见，数学素养是人们通过数学学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的品质，通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略.人们所遇到的问题可以是数学问题，也可能不是明显的和直接的数学问题，而具备数学素养可以从数学的角度看待问题，可以用数学的方法解决问题.函数与方程是高中阶段数学学习的最重要的部分，应用函数与方程思想培养数学核心素养开创教学新局面.

三、函数与方程思想应用举例

（一）函数与方程思想在数列中的应用

例1 已知等差数列{an}中，a1=-2，公差d=3；数列{bn}中，Sn为其前n项和，满足：2nSn+1=2n（n∈N+）.

（Ⅰ）记An=1anan+1，求数列An的前n项和S；

（Ⅱ）求证：数列{bn}是等比数列；

（Ⅲ）设数列{cn}满足cn=anbn，Tn为数列{cn}的前n项积，若数列{xn}满足x1=c2-c1，且xn=Tn+1Tn-1-T2nTnTn-1（n∈N+，n≥2），求数列{xn}的最大值.

解 （Ⅰ）因为an=3n-5，所以An=1（3n-5）（3n-2）=1313n-5-13n-2，所以S=13-12+1+1+14+14-17+…+13n-8-13n-5-13n-5-13n-2=13-12-13n-2=-n6n-4.

（Ⅱ）由2nSn+1=2n，得Sn=1-12n，所以当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=12n，又当b1=S1=12，符合上式，所以bn=12n（n∈N+），故数列{bn}是等比数列.

（Ⅲ）因为cn=3n-52n，所以x1=c2-c1=54，当n≥2时，xn=Tn+1Tn-1-T2nTnTn-1=Tn+1Tn-TnTn-1=cn+1-cn=8-3n2n+1，

又x1=54符合上式，所以xn=8-3n2n+1（n∈N+），因为xn+1-xn=5-3n2n+2-8-3n2n+1=3n-112n+2，所以当n≤3时，{xn}单调递减，当n≥4时，{xn}单调递增，但当n≥4时，{xn}每一项均小于0，所以{xn}的最大值为x1=54.

点评 该题的第三问，就是将数列的通项看成是以n为自变量的函数，先判断出单调性，再利用单调性求出最值.

（二）函数与方程思想在方程问题中的应用

例2 实数a为何值时，方程cos2x+sinx-a=0有解？

解 方程可以转化为：a=f（sinx）=-2sin2x+sinx+1（-1≤sinx≤1），即把a看作关于sinx的函数，于是求a的范围就转化为求函数a=f（sinx）在-1≤sinx≤1时的值域，结合y=sinx的圖像和二次函数值域知识，解得-2≤a≤98.

说明：与常规的解法比，这种解题方法大大地减少了运算量，使问题更加明朗化.

例3 已知函数f（x）=|x+1|，-7≤x≤0，lnx，e-2≤x

解 若存在实数m，使f（m）-2g（a）=0，即2g（a）必须在f（x）=|x+1|，-7≤x≤0，lnx，e-2≤x≤e 的值域内，所以原题可转化为求函数值域问题，求得函数f（x）值域[-2，6]，所以a的范围为[-1，3].

点评 本题主要考查了分段函数的图像与性质和函数与方程，考查了学生对数学问题的阅读分析转化能力，渗透着数形结合的数学思想，其解题的一般思路为：首先根据函数f（x）的图像，求出其值域，然后利用已知条件并结合函数的图像可得满足已知条件时应满足的条件，进而由一元二次不等式的解法即可求得正确的结果.

（三）函数与方程思想在不等式中的应用

例4 已知函数f（x）=（a-1）log23x-6log3x+a+1，当00，求x的取值范围.

分析 如果直接求满足题设条件的x的值，不好入手，现在换一个角度，把已知函数换为关于a的函数，则会使问题简化.

解 将原函数变形为g（a）=（log23x-6log3x+1）a+（1-log23x），这是一个关于a的一次函数，题设就变为当00，求a的范围的问题.

因为g（a）是一次函数，为单调函数，为保证g（a）>0，只要使g（0）>0且g（1）>0就可以了.

所以原题相当于解g（0）=1-log23x，g（1）=-6log3x+2， 均大于0的解集，从而最终求得x13

点评 根据所给不等式的结构特征构造相应的函数，研究该函数的单调性是解决这一类问题的关键，该解法充分体现了函数、方程互相转化的数学思想.

（四）函数与方程思想在解析几何中的应用

例5 已知两条曲线C1：x29+y24=1和C2：x2+（y-1）2=r2问：r为何值时两条曲线无公共点？

解法一 如果该题用常规方法解，从 C1和C2中消去一个未知数x，得到：-54y2+2y+10-r2=0，由于两条曲线无公共点，所以判别式小于0，从而得到r>545.

又因为已知椭圆可以包含圆，所以0

所以该题最终结果为：r>545或0

但是使用该方法，在解题过程中很容易漏掉 0

解法二 若将该问题进行转化，从C1和C2中消去一个未知数x，得到：-54y2+2y+10-r2=0，将该式中的r整理为y的函数，即r2=f（y）=-54y-452+545，由椭圆的性质可知，-2≤y≤2，

于是本题转化为：当-2≤y≤2时，求函数f（y）的值域的补集.

f（y）的值域满足1≤r2≤545，即1≤r≤545，

因为r>0，所以C1和C2无交点的范围是：r>545或0

点评 为了求参数的范围，可以把参数看成是某个字母的函数，用求函数值域的方法求出参数的范围，该题的第二种方法就使用了这种思想.

例6 已知椭圆x24+y23=1，试确定m的范围，使得对于直线y=4x+m，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.

解 设P1（x1，y1），P2（x2，y2）为椭圆上两点，P0（x0，y0）为P1P2的中点，代入椭圆方程后相减得y1-y2x1-x2=-3x04y0=-14，

又y0=4x0+m，∴x0=-m，y0=-3m，可以求出直线P1P2的方程为y=-14x-134m，

代入椭圆方程整理，记f（x）=13x2+26mx+169m2-48（-2≤x≤2），

则若假设的P1（x1，y1），P2（x2，y2）在椭圆上，则相当于方程f（x）=0，在[-2，2]上有两个不等的实根，所满足的条件为Δ>0，f（2）≥0，f（-2）≥0，-2<-m<2， 从而解得：-21313

点评 曲线上存在不同的两点关于直线对称，等价于存在被直线垂直平分的弦，即等价于曲线的符合条件的弦所在的直线方程和曲线的方程组成的方程组在某个确定的区间上有不同的解.因此，这类问题可利用一元二次方程根的分布的充要條件建立不等式求解.

规律总结 1.在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量；2.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.

通过上面的几个例子可以看出，函数与方程的思想在解题中的重要性.随着教育观念的更新，教学方法越来越受到人们的重视，函数与方程是高中阶段数学学习的最重要的部分，应用函数与方程思想培养数学核心素养开创教学新局面，培养和提高学生的解题能力.

【参考文献】

[1]郭冉，等.新课程能力培养[M].沈阳：辽海出版社，2012.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.