一道江苏高考数学试题的再推广

摘 要：本文以2012年江苏高考理科第19题为例，在前人研究的基础上，笔者进行了进一步地探究和推广，给出了前人结论的新证并得出了两个新结论以及它们的证明，最后对该问题进行了更深入的讨论。

关键词：圆锥曲线；探究和推广；讨论

一、 引言

2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）第19题文对其利用圆锥曲线与直线方程联列求解，将其推广得到：

定理1 在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（双曲线x2a2-y2b2=1）（a>0，b>0）的左右焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0）。设A，B是椭圆（双曲线）上位于x轴同侧的两点且直线AF1和直线BF2平行，AF2与BF1交于P点，则PF1+PF2=a2+c2a。

本文对上述定理1给出不同与文的证明，并将定理再做进一步推广，得到：

定理2 在平面直角坐标系xOy中，椭圆（双曲线）的左、右焦点是F1，F2，椭圆（双曲线）的长半轴（实轴）在x轴方向且长为a，短半轴（虚轴）在y轴方向且长为b，半焦距长为c，设A，B是椭圆（双曲线）上位于长半轴（实轴）所在直线的同一侧的两点且直线AF1和直线BF2平行，AF2与BF1交于P点，则PF1+PF2=a2+c2a。

定理3 在平面直角坐标系xOy中，椭圆（双曲线）的左、右焦点是F1，F2，椭圆（双曲线）的长半轴（实轴）长为a，短半轴（虚轴）长为b，半焦距长为c，设A，B是椭圆（双曲线）上位于长半轴（实轴）所在直线的同一侧的两点且直线AF1和直线BF2平行，AF2与BF1交于P点，则PF1+PF2=a2+c2a。

二、 结论的证明（定理均仅给出椭圆的证明，双曲线类似）

1. 定理1的新证

定理1的新證

证明 设AF1=m，BF2=n

因为AF1//BF2，所以nm=PBPF1=2a-n-PF1PF1。

则

PF1=m（2a-n）m+n，

同理

PF2=n（2a-m）n+m，

故

PF1+PF2=2a（m+n）-2mnm+n=2a-11m+1n。

下面计算1m+1n的值，设∠AF1F2=θ，

cosθ=4c2+m2-2a-m24cm=ma-b2mc，

同理

cos（π-θ）=na-b2nc，

所以

cosθ=ma-b2mc=-cos（π-θ）=-na-b2nc，

即

na-b2nc+ma-b2mc=01m+1n=2ab2，

所以

PF1+PF2=a2+c2a。

故定理得证

2. 主要结论的证明

定理2的证明

证明 由题意得，设椭圆的中心在（x0，y0），

椭圆的方程为（x-x0）2a2+（y-y0）2b2=1，

令X=x-x0，Y=y-y0

则

X2a2+Y2b2=1，

由定理1，得PF1+PF2=a2+c2a。

故定理得证

定理3的证明

证明：以原点O为原点O′，

以椭圆长轴所在直线上侧为x′轴正方向，

以短轴所在直线左侧为y′轴正方向，

设∠x′ox=θ，于是将xoy坐标系逆时针旋转θ，

即可变成x′oy′坐标系，

在x′oy′坐标系中设椭圆的中心是（x0′，y0′），

则椭圆的方程为

（x-x0′）2a2+（y-y0′）2b2=1，

再由定理2，得PF1+PF2=a2+c2a。

故定理得证

3. 讨论

笔者参考文，其给出了江苏高考题的三种不同的解法，分别是利用焦半径、极坐标、参数方程来解决问题。受此启发给出了定理一的新证。联想到图形变换的思想，将图形平移，旋转以后该性质是否依然成立，经过一系列的探究发现无论椭圆（双曲线）的中心在哪个位置，无论长半轴（实轴），短半轴（虚轴）位于什么方向，PF1+PF2都是定值。

参考文献：

[1]崔北祥.五年高考真题汇编理科数学[M].合肥：安徽教育出版社，2015.

[2]郑良.2012年高考数学江苏卷第19题的推广及教学启示[J].中学数学研究，2013（4）.

[3]朱红喜.2012年高考数学江苏卷解析几何别解[J].中学数学（高中版），2012，09.

作者简介：

陈佳佳，安徽省芜湖市，安徽师范大学数学计算机科学学院。endprint