矩阵概念的教学设计

刘玉霞+闻杰

【摘要】本文给出矩阵概念的一种教学设计，以问题为引导，从应用的角度列举实例，让学生体会矩阵应用的广泛性.在教学过程中，不断设置疑问，穿插介绍史学知识，步步引导学生进行思考，讲解趣味实例以调动学生的学习积极性和主动性.

【关键词】矩阵；概念；教学设计

要上好一堂课，教师要做到两层：一层听懂，讲的知识要深入浅出，让学生容易听懂；二层是有意思，讲的内容要吸引学生，让学生感兴趣.学生在感兴趣的前提下才会认真听课，自然大部分会听懂，若不感兴趣，有某处听不懂也就很难再继续听下去，继续后续学习，所以兴趣是影响学习的一个很重要的因素.而高等数学一直以来就备受指责是一门枯燥无味的学科，对于教师，在讲课时做到上述两层才能改变现状，其中关键是要做到吸引学生.那么，怎样上好一堂课才能吸引学生，让学生感兴趣呢？比起上数学课，学生可能更愿意看视频、听故事，但不是所有的学习内容都能统一运用这样的教学方法，教师应针对不同的教学内容设计相应的教学方法吸引学生参与到教学过程中来.

本节课内容是介绍矩阵的概念，由于概念本身简单再加上此概念在中学阶段学生已经有所接触，所以对学生来说这部分内容相对比较简单，如果按部就班地讲解则显得枯燥，而我们可以从应用的角度出发来引导学生，让学生感受矩阵与我们的生活到底有什么关系，其中不乏矩阵的发展史的穿插介绍，不断设问，创设趣例，遗留思考，步步抓住学生的神经，吸引学生不断探索，将原本单调的内容通过设计问题、讲故事等教学方式，并与实际结合，举例贴近生活，一堂课就会变得有滋有味，一个简单的概念也就不只是停留在纸上的两个字，而是有血有肉的具有生动立体感的事物.

一、矩阵概念的引入

（一）设计问题

新闻：2013年12月下旬，教育部、国家统计局、财政部发布2003年至2012年全国教育经费执行统计报告，数据显示历年来教育经费一直持续上涨，从2003年的3 850.62亿元，2004年的4 465.86亿元，2005年5 161.08亿元……一直涨到2012年的22 236.23亿元，占GDP的比例也大致呈上涨趋势，从2003年的2.84%，2004年的2.79%，2005年的2.81%，2006年的2.93%……一直到2012年的4.28%.另外公告还显示……

问题：如何表达出有效信息使得这一长段的新闻一目了然？

讨论：显然，抓住年份、经费、占GDP比例这三组数据制作出如下表格就会使得新闻简洁明了.

20033 850.622.84

20044 465.862.79

20055 161.082.81

20066 348.362.93

20078 280.213.12

200810 449.633.33

200912 231.093.59

201014 670.073.65

201118 586.703.93

201222 236.234.28

实例：某航空公司在A，B，C，D四个城市之间开辟了若干航线，如图所示为四个城市之间的航班图，如果从A到B有航班，就用带箭头的线连A指向B.

问题：如果城市更多，航班更多，该如何表示呢？

讨论：线段图比起文字说明也比较简明，但城市变多，航班变多时，线段箭头就会增多而混乱，表达就复杂了，但是如果用下面的数据表格表达，用数字1表示城市间有航班，0表示没有，情况再复杂也能一目了然.

0110

1010

1001

0100

说明：这样用數据表格来表情达意在生活中随处可见，不妨引导学生自己举例，比如，一单位的某种账目，不同产品的两年收益情况，这样用数据表格来表达主要信息，使问题简单化明了化，让学生感受学习这种方法的必要性，而不仅仅只是停留在自己以往简单的认识上面.

（二）矩阵的概念

有了上述的用数字表格来处理实际问题的认识，欲将这一方法用严谨的数学知识来体系化，就很自然地提出了矩阵的概念，再加上前面学习过行列式的知识，学生很容易接受矩阵的概念，作为教师，只需初步地提醒两个概念的异同，并给学生介绍一些特殊矩阵.

二、矩阵概念的发展及应用举例

由数字表格提炼出矩阵的概念，再介绍一下矩阵的历史来源和在不同领域的发展，特别是与专业相关方面的应用，比如，与我们学生专业有关的遥感图像的栅格表示、水流方向矩阵表示等，既可以让学生掌握知识，拓展知识应用，还可以激起学生的学习兴趣，为专业课学习打好基础.此外，再举2个实例.

（一）价格矩阵

例1 四种食品在三家商店中，单位量的售价分别是17，7，11，21；15，9，13，19；18，8，15，19，可以用下面矩阵表达出每种食品在各个商店的售价情况：

1771121

1591319

1881519 .

不同的学生还给出另一种表达：

171518

798

111315

211919 .

（二）赢得矩阵

例2 我国古代有“齐王赛马”的故事，战国时代齐王和大将田忌约定用上、中、下三个等级各一匹马进行三次比赛，赢者得输者的千金，同一个等级的马，齐王可稳操胜券，但田忌的上、中等马可赢齐王的中、下等马.根据不同的出场顺序，有六种比赛策略：上中下、中上下、下中上、上下中、中下上、下上中，田忌根据齐王的马选择合适的策略还是可以有赢得齐王的机会的，据他们不同的策略选择，可得到齐王的赢得情况用矩阵表达如下：

31111-1

131-111

1-13111

11-1311

-111131

1111-13 .

用实例和趣味故事展现出矩阵的应用可以让学生感受数学不仅来源于生活，还服务于生活，用提问的方式为后续学习矩阵的运算留下伏笔.提出问题1：例1中用两个矩阵表达一个问题，两个矩阵之间有什么关系呢？问题2：例2中你能写出田忌的赢得矩阵吗？与齐王的赢得矩阵什么关系？带着问题学生可自主学习下节内容.

三、小 结

1.理解矩阵的概念的实质——数表，生活中到处可见其应用，比如，账目、收益，鼓励学生多举例，并学会运用数学的眼光看待事物.

2.鼓励学生自己总结矩阵与行列式的异同点，进一步认识矩阵概念.

四、趣味思考题

甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏，试问甲的赢得矩阵是什么矩阵？

分析：仿照齐王赛马的赢得矩阵，用大家熟悉的游戏给学生留下问题，既能激发学生的学习兴趣，又能为后续的学习留下铺垫.

提示：不妨设甲、乙两人只玩两次，写出策略.

【参考文献】

[1]同济大学应用数学系.线性代数：第4版[M].北京：高等教育出版社，2003：29-32.

[2]莫里斯·克莱因.古今数学思想（三）[M].伟勋，石生明，孙树本，等译.上海：上海科学技术出版社，2002：207-217.endprint