探究小孔对平行板电容器电场分布的影响

黄浩峰

摘 要：带小孔的平行板电容器是高中物理中的常见模型，在分析中通常直接忽略了小孔对电场分布的影响。本文直接从Maxwell方程组出发利用有限元方法来分析小孔对平行板电容器电场分布的影响。分析发现若要使小孔对平行板极板之间区域任意位置的影响都可以忽略，则小孔宽度必须小于1cm。同时极板长度、极板间距、极板厚度这些参数的取值越大，小孔带来的电场分布扰动会越小。

关键词：平行板电容器；电场分布；小孔

中图分类号：O441 文献标志码：A

0 引言

电容器是一种常见的储能器件，由两块金属电极之间夹一层绝缘电介质构成。当两块金属电极相互平行时便构成了平行板电容器。平行板电容器是高中物理中的常见模型，常被用于控制带电粒子的运动轨迹或能量。为了让粒子能够进入到平行板电容器的电场区域，往往需要在平行极板上引入小孔。在高中物理教材中直接认为小孔对平行板电容器的电场分布没有任何影响。已有一些文献报道采用保角变换，施瓦茨-克利斯多菲变换等方法来分析引入小孔带来的影响，然而这些方法都具有一定的局限性。本文将直接从Maxwell方程组出发利用有限元方法来分析小孔对平行板电容器电场分布的影响，并总结出小孔影响可忽略的条件。

1 平行板电容器的电场分布

带小孔的平行板电容器如图1（a）所示，由两块长度为L的平行导体极板构成，极板厚度为H。上侧极板中心有一宽度为W的小孔，两极板间距用D表示。根据高中静电场的知识可知，若两极板之间存在电势差U，则在极板附近将形成靜电场。高中物理认为极板之间的静电场可以近似为匀强电场：电场线是均匀等间距的平行直线，方向垂直于金属导体极板并从高电势指向低电势；等势面是平行于导体极板的等间距直线。如文献分析所示，虽然实际的平行板电容器存在边缘效应，但在电容器的中心区域任旧近似为匀强电场分布。如果极板中心存在小孔则会对电场分布产生扰动，如图1（b）（c）所示。图中以L=20cm、H=0.5cm、D=10cm、W=3cm的平行板电容器在U=10V的情况下为例，利用有限元数值计算方法直接求解Maxwell方程组中静电场的高斯定理便可得到电容器的电场即电势分布。由图可见，平行板电容器的中心远离小孔的区域电场确实可以近似为匀强电场分布。小孔附近的电场和电势都收到了明显的影响，在本文的下一节中将定量分析这种影响的大小。

2 小孔对平行板电容器电场分布的影响

为了定量分析小孔对平行板电容器电场分布的影响，我们利用有限元方法计算出了带小孔平行板电容器极板之间任意位置处的电势V，并根据极板电势差U计算出该位置在匀强电场近似下的电势U0。基于这些数据，我们定义了归一化电势误差（Err）来定量描述小孔带来的电场分布影响，如公式（1）所示。

由于高中物理中学习的平行板电容器的匀强电场近似仅适用于两导体极板之间的区域，因此本文只分析小孔对平行板电容器极板之前电场分布的影响。仍以L=20cm、H=0.5cm、D=10cm、W=3cm的平行板电容器为例，小孔附近的Err分布如图2（a）所示。由图可见小孔的存在使得附近区域电势降低（Err<0）；且越靠近小孔中心电势降低得越多。因此，本文又分析了平行极板之间最靠近小孔中心处的Err随电容器结构参数变化的关系，该Err对应于整个极板之间区域电势减小量的最大值。结果如图2（b）～图2（c）所示，无论其他参数取值如何，小孔宽度W都是最主要的影响参数，W越小，小孔对电场分布的影响就越小。若要使小孔对平行板极板之间区域任意位置的影响都可以忽略（Err<1%），则小孔宽度必须小于1cm。同时极板间距D与也极板长度L应该越大越好。因为在相同的W下，Err的绝对值会随着当D或L的减小而增加。从图中还可以发现极板厚度H对Err影响不大，随着H的增加而Err的绝对值稍有增加。此外，我还分析了Err随极板间电势差U的变化关系，发现U对Err没有任何影响。

图2（a）小孔对电势分布的影响；小孔引起的电势改变量在不同小孔宽度W下随（b）极板间距D；（c）极板长度L；（d）极板厚度H的关系。

结论

综上所述，本文利用有限元方法通过求解Maxwell方程组分析了小孔对平行板电容器电场分布的影响。分析发现极板长度L、极板间距D、极板厚度H、小孔宽度W都对小孔带来的电场扰动大小有影响。其中W是主要因素，小孔附近的电场分布变化量会随着W的减小而显著减小。若要使小孔对平行板极板之间区域任意位置的影响都可以忽略（归一化电势误差Err<1%），则小孔宽度必须小于1cm。这一结论在将来带小孔的平行板电容器分析中具有积极的指导意义，可以作为小孔的影响是否可以忽略的初步判断标准。同时利用本文中的分析方法可以直接定量分析出小孔的影响大小，且这样方法可以推广到任意电容器的分析，具有较大的实用价值。

参考文献

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