水泵与水轮机转子低压截面上的结构常数G及流线相似法应用

张征骥，李 正，魏显著，覃大清



水泵与水轮机转子低压截面上的结构常数G及流线相似法应用

张征骥，李 正，魏显著，覃大清

（水力发电设备国家重点实验室(哈尔滨大电机研究所)，哈尔滨 150040）

水泵；混流式水轮机；流线相似法；结构常数；冲击损失；欧拉方程

0 前言

水力机械如水泵和水轮机的水动力特性曲线是由能量定理决定的。由于能量的转换是伴随着流动发生的，所以，流动损失直接削弱着水力机械内的能量交换。流动损失通常被视为水力机械的内在损失，并与流量即水力机械的工作点有关。在设计工况下，流动损失最小，能量转换效率最大。在非额定工作点，流动损失通常由各种不同的局部损失引起。就水泵而言，局部损失之一是转子进口处的冲击损失。该损失发生在任何偏离额定工作点的工况下。在显著的低负荷下，单一的冲击损失还将转化为脱流甚至旋转脱流损失[1]。虽然这种局部损失早已为人们所熟知，并有各种描述与模拟计算。但是在严格的理论计算方面，一直以来都没有突破性进展。同样的局部损失发生在混流式水轮机转子出口。任何偏离额定工作点的流动，都会导致水流在水轮机转子出口包含有旋转分量。由于该处流速的不均匀分布，人们还从来没有找到一种准确的方法用于计算水流的旋转分量以及由此决定的欧拉方程中出口项的平均值。同样，包含于旋转水流中的旋转动能也无从计算。这方面的大量研究更多地则是集中在尾水管中流速分布，空化涡带形成以及由此引发的压力脉动等问题上，如文献[2,3]。

这里折射了水泵与水轮机转子低压截面上局部损失的计算问题。

且以水泵为例。转子各叶片通道进口处水流速度的不均匀分布是由流线弯曲引起的。其不均匀程度大都无法直接计算。所谓流线曲率法[4-6]虽然是基于文献[7]中的一般理论开发而来的，并主要应用于涡轮压缩机。但在用于水泵方面，则依然是通过反复迭代对微分方程进行计算的，还常常出现计算不收敛的情况。其它有效方法就是通过实验做直接测量[8,9]。虽然计算流体力学在一定程度上能对该不均匀速度分布进行数值模拟计算，而且在以往的工程实践中也的确发挥了一些作用。但是，就所述水泵进口处这一具体流动而言，它还不如流线曲率法适用。此外，很多数值模拟通常偏颇地将水泵内一些不佳的流动现象归结为仅与转子出口处流动状况有关，即认为是由转子和导向叶片之间的相互作用引起的[10-12]。总之，这里反映的是计算方法的问题。本文所要展示的，是如何将微分方程计算转换为积分计算。这是一个崭新且非常有效的分析计算方法，即流线相似法。其理论基础是流动的势流特征以及转子入口处流线分布的几何特性。

1 水泵转子入口结构常数与流速分布

1.1 沿流线运动方程及流动的势流特征

其中，是流线的曲率半径。

图1 水泵转轮子午面内的速度分布与各计算参数表示

另一方面，由于水泵吸水管内的直线流动通常可被看成是均匀分布，所以流动是无旋的有势流动。在忽略粘性磨擦力影响的前提下，流体在到达并流经转子叶片前缘时必然保持其势流特征，即总压力保持不变：

将式（2）代入后又得:

将式（5）带入式（7）得：

上列各式将在下面各计算中相继得到应用。其中，/为一纯几何量，由流线分布决定，与流速无关。

1.2 连续方程

圆柱坐标系中的连续方程为

带入式（10）得：

考虑到式（6）和式（9）得：

该式中对几何量∂/∂的计算将在附录中给出。

1.3 转子进口速度分布与第一结构常数

将式（15）代入后得

然后有

转子进口处的速度分布最终可以表示为：

在不发生明显脱流的情况下，式（21）适用于任何非额定流量。很明显，子午面内的速度分布是由几何分布()决定的。()所体现的是流线分布的相似性。所以，以此为基础的计算方法称为流线相似法。

1.4 特殊情况

以及

假设。然后，对于不同的由上式计算出的几何参数G(s)以及它的分布如图2所示。

由于几何参数()直接反映了转子进口处的流速分布，见式（15）和（21），图2中的各曲线事实上反映了流速分布的比例。其中比值1/2从1.8到2.4的变化是根据文献[13]选定的。很明显，沿转子叶片前缘的速度变化是极为显著的。其差别达两倍之多。这一计算结果既与流线曲率法的计算结果一致[4-6]，还与早期实际观察相符[14]。在设计转子叶片的走向时，这一不均匀流速分布必须予以考虑。

1.5 转子进口压力分布

除了速度分布由式（21）给出之外，相应的压力分布可由式（3）直接给出如下：

1.6 速度分布计算举例

这里有=0, 1, 2, …。

图3 流线曲率与曲率中心的内插值计算

在坐标系，以o为曲率中心的第条流线可由圆方程表示，即

如同图2所揭示的那样，这里再一次显示了转子进口处流速分布的高度不均匀，且与文献[14]中（图126）所给出的流速变化相似（从2.5~6m/s）。

1.7 速度分布的实验验证

图5示出了计算与本文作者协同事早期试验结果[9]的比较。其中计算结果系采用式（21）和（24）。此外，图中还比较了用指数函数表达的近似计算。此指数函数暂且适用于比转速（n）为30~35的水泵。

图5 计算与试验测量的比较。

注：测量取自文献[9]。计算由式（21）和（24）而得

1.8 转子入口冲击损失与第二结构常数

由转子进口流速分布可以计算出流体相对速度以及流向角，如图4（b）所示。水泵导叶的设计是要保证在额定工况下(用下标N表示)导叶走向在进口处与流体流向角一致，从而保证不发生冲击损失。所以，水泵导叶的倾角及其沿叶片前缘的分布可根据式（21）由下式计算：

这里下标1表示转子进口。此外，圆周速度（1=2π）是径向坐标的函数。其它流动与几何参数由图6给出。下面的各计算，均假设转子叶片的倾角及其分布按式（31）给定，即为已知。

在其它流速下，相对流向角由下式表示：

图6 水泵转子进口速度三角形以及冲击损失计算

或

式（38）中，为水泵转子进口处综合结构常数，简称结构常数，其计算如下：

该结构常数归根到底是由转子进口处叶片前缘的几何尺寸与位置决定的。它不仅在水泵计算中起着关键作用，而且还在混流式水轮机计算中从根本上决定着能量交换的计算精度。

2 混流式水轮机转子出口结构常数与欧拉方程应用

混流式水轮机转子出口的流动与水泵转子进口的流动有其共性。在额定工况下，水轮机转子出口的流动没有旋转分量。由于尾水管中的流动可近似地认为是均匀的直线流动，即有势流，所以流体在转子出口的流动也必然为有势流。其速度沿叶片尾缘分布必然满足式（21），即（下标2表示水轮机出口）：

为了较准确地反映实际速度分布，上式中还可以根据情况引入一个修正系数。

在用欧拉方程计算单位流体做功的时候，在转子出口，叶片尾缘截面上相应的项要用平均值，即

对出口平均值的计算首先根据图1（这里水泵的入口被看作为水轮机的出口，用下标2表示）有下列积分：

（44）

显然，上式中的积分项是一个与流动无关的几何量，且与式（39）计算相同，所以称为混流式水轮机转子出口第二结构常数。

考虑式（40），上式（45）最终可以写成：

3 结束语

一直以来，水力机械如水泵和水轮机的水动力特性曲线大都是由试验得来的。其分析计算的不可能，原因之一在于未能简单而又准确地计算水泵入口处的速度分布。该速度分布不仅决定着额定工况下转子叶片的设计，而且同时决定着非额定工况下转子进口处的冲击损失。该损失如此典型而且重要，却向来都没有被看重过，更无从计算。这是人们长期以来过于依赖试验以及近年来又过于依赖计算流体力学(CFD)所造成的。

附录: ∂/∂的计算

正文中，梯度分量∂/∂是决定流速分布的一个影响参数，具有几何特性。

由式（9）并考虑∂/∂=-∂/∂则有：

其中和坐标由图3确定。

这样，∂/∂的计算就归结为∂/∂和∂/∂的计算。为此，流经计算点的流线按图3由下列圆方程给出：

用圆弧段来表示局部流线，圆弧段的确定既包括圆弧段的中心还包括圆弧段的半径。两者均可通过在两点o1与o2间做线性插值而得到。

该式亦可写为

和

参数∂/∂和∂/∂将分别计算如下。

由式（a4）得:

或可写为

即

由式（a5）可得:

进一步得

按同样方式如（1）中，由式（a2）得到

即

（3）联立计算

式（a7）和式（a11）同时代入式（a1）。由此得

为了进一步简化计算，可使用下述各关系式:

式（a9）和式（a13）同时代入式（a14）。最终得到

[1] Zhang, Zh..Rotating stall mechanism and stability control in the pump flows[J]. J. Power and Energy,2011, 225: 779-788.

[2] Susan-Resiga, R., Ciocan, G., Anton, I., Avellan, F.. Analysis of the swirling flow downstream a Francis turbine runner [J]., vol. 128, p177-189, 2006.

[3] Nielsen, TK., Olimstad, G.. Dynamic behaviour of reversible pump-turbines in turbine mode of operation [C]., Honolulu, 2010.

[4] Casey, M., Roth, P..A streamline curvature throughflow method for radial turbocompressors[C]. I. Mech. E. Conference C57/84. 1984.

[5] Casey, M.,Robinson,C.. A new streamline curvature throughflow method for radial turbo­machinery[J],132(3), 031021 (Apr 07, 2010).

[6] Gong, WQ., Wu, RK., Zhang, B..A new finite difference method to solve the velocity gradient equation in streamline curvature method[J]. Advances in Mechanical Engineering, 2016, 8(9): 1-13.

[7] Wu, CH.. A general theory of three-dimensional flow in subsonic and supersonic turbomachines of axial-, radial-, and mixed-flow types [R]. Washington DC, USA: NACA, 1952, NACA-TN-2604.

[8] Stoffel, B., Weiss, K.. Different types and locations of part-load recirculations in centrifugal pumps found from LDA measurements [C]., Valencia, Spain, 1996, II: 1034-1044.

[9] Eisele, K.. Global und LDA Messungen am Radialpumpenlaufrad La 033.112 mit unbeschaufeltem und beschaufeltem Diffusor[R]., IT 1773, 1992.

[10] Shi, F., Tsukamoto, H.. Numerical study of pressure fluctuations caused by impeller­diffuser interaction in a diffuser pump stage [J]., 2001, 123(3): 466-474.

[11]Muggli, F., Eisele, K., Zhang, Zh. et al.. Numerical investigations of the flow in a pump turbine in pump mode [C].,London, UK, 1999.

[12] Feng, J., Benra, F., Dohmen, H..Unsteady flow visualization at part-load conditions of a radial diffuser pump: By PIV and CFD [J]., 2009, 12(1): 65-72.

[13] Gülich, J.. Centrifugal pumps [M]. 2nd Edition, Berlin, Germany: Springer-Verlag,, (Fig. 7.4).

[14] Pfleiderer, K. Die Kreiselpumpen für Flüssigkeiten und Gase[M]. Springer Verlag, 1955, (Abb. 126).

[15] Zhang, Zh., Titzschkau, M.. Self-validated calculation of characteristics of a Francis turbine and the mechanism of the S-shape operational instability[C]., Beijing, China, 2012.

Structure Constant G and Streamline Similarity Method for Flow Distributions at the Low Pressure Sides of the Pump and the Turbine Impellers

ZHANG Zhengji, LI Zheng, WEI Xianzhu, QIN Daqing

(State Key Laboratory of Hydro-power Equipment (HILEM), Harbin 150040, China)

pump; Francis turbine; streamline similarity method; structural constant; shock loss; Euler equation

TK734

A

1000-3983(2018)01-0001-09