G′/G展开法在(3+1)维KP方程中的应用

，

(聊城大学 数学科学学院，山东 聊城 252059)

在数学物理、工程力学等许多领域中，存在着大量的模型可以用偏微分方程来描述。例如，热流动、波的传播、大部分人口统计模型以及化学反应性材料的色散现象等。另外，流体动力学、量子力学、电力学、离子体物理浅水波的传播等都需要偏微分方程来刻画。因此，非线性发展方程得到人们的广泛关注[1]，许多学者也在非线性方程求解这一领域取得了巨大的成就[1]。在非线性波及孤立子理论的物理问题中，KP方程占有重要的位置[2,3]，本文研究(3+1)维KP方程

(ut+6unux+ruxxx)x+αuyy+βuzz=0

其中，u=u(t,x,y,z)为未知函数,r、α、β为任意常数,n为待定常数。

关于求解非线性偏微分方程精确解已经有很多方法，如齐次平衡法[4,5,6,11]、双曲函数法[7]、Hirota方法[10]和Jacobi椭圆函数展开法[4,8]等。本文将运用G′/G展开法[11-19]和齐次平衡原理[4-6]求解KP方程精确行波解。

1 (3+1)维KP方程

对于方程

(ut+6unux+ruxxx)x+αuyy+βuzz=0，

(1.1)

首先作行波变换

u(x,t)=u(ξ),ξ=x+y+z-Ct,

(1.2)

其中C为波速。

将式(1.2)代入(1.1)，化简可得到关于u=u(ξ)的方程

-Cu″+6nun+1u′2+6uu″+ru(4)+αu″+βu″=0。

(1.3)

对(1.3)求一次积分，得

-Cu′+6unu′+rum+αu′+βu′=A,

(1.4)

其中，A为积分常数。

假设方程(1.4)的解能够表示成如下形式:

(1.5)

这里G=G(ξ)，并且满足二阶线性常微分方程

G″+λG′+μG=0。

(1.6)

由(1.4)式和(1.5)式求得

(1.7)

(1.8)

(1.9)

(1.10)

把式(1.5)～(1.9)代入式(1.4)后，平衡最高阶导数项um和非线性项unu′的指数，即mn+m+1=m+3，mn=2。

1) 当n=1时，

(ut+6uux+ruxxx)x+αuyy+βuzz=0,

(1.11)

平衡最高阶导数项um和非线性项uu′的指数，即m=2,故方程(1.1)可能存在G′/G解。

2) 当n=2时，

(ut+6u2ux+ruxxx)x+αuyy+βuzz=0,

(1.12)

平衡最高阶导数项um和非线性项u2u′的指数，即m=1，故方程(1.1)可能存在G′/G解。

综上所述，当n=1，2时方程(1.1)可能有G′/G解。

2 KP方程的G′/G解

1) 当n=1，m=2时，形式解为

(2.1)

同样求得

(2.2)

-6λμ2α2-2μ2α1-α1μλ2,

(2.3)

把式(2.1)～(2.3)代入式(1.4)中，求得

-(8λ3α2-2Cλα2+ 52μλα2+ 18μα1α2+ 2αλα2+ 2βλα2+ 7λ2α1

-6α2μ2λ-α1μλ2+Cμα1-2α1μ2-αμα1-βμα1-6μα1α0+A。

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

求解方程组(2.5)～(2.10)，可得

A=0，

(2.11)

α1=-2λ，

(2.12)

α2=-2，

(2.13)

C=λ2+8μ+α+β+6α0。

(2.14)

将式(2.11)～(2.14)代入式(2.1)，求得

(2.15)

其中，C=x+y+z-(λ2+8μ+α+β+6α0)t。

(2.16)

把(1.5)式代入(2.15)式,可以得到以下三种形式的解:

当λ2-4μ>0时，

其中，ξ=x+y+z-(λ2+8μ+α+β+6α0)t，C1，C2均为任意常数。

当λ2-4μ<0时，

其中，ξ=x+y+z-(λ2+8μ+α+β+6α0)t，α0，C1，C2均为任意常数。

其中，ξ=x+y+z-(λ2+8μ+α+β+6α0)t，α0、C1、C2均为任意常数。

2) 当n=2，m=1时，根据讨论，得到

(2.17)

同样地求得：

(2.18)

(2.19)

(2.20)

⋮

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.26)

(2.27)

3 结论

本文探讨了G′/G展开法在求KP方程精确解中的应用。由上述讨论，得到了新的周期函数解、指数函数解以及包含更多参数的精确解。推广的KP方程有多种形式的精确解,应用范围广泛，应用本文的方法，不仅能够求出推广的KP方程的G′/G解,也可以求出其他非线性方程的精确解。

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