组合(第一课时)教学设计

陈麒先 万正苏

一、创设情境，引入新课

“校园歌手大赛”是我校的特色文化活动之一。它为我们紧张、忙碌的学习生活提供了休闲、放松的平台，同时也给我们出了一道数学问题。

问题1：比较下列两个问题，并发现它们之间的关系：

（1）我们班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额，且其中一名参加流行组，一名参加民歌组，请问：共有几种不同的报名结果？

（2）我们班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额，请问：共有几种不同的报名结果？

師生活动：首先引导学生明确这两个问题都是完成一件事，只是完成的过程不一样。第一问是“三人中选两人，一人参加流行组，一人参加民歌组”，分两步完成，需要考虑他们的顺序，是一个排列问题；第二问是“三人中选两人”，不必考虑顺序，这就是今天我们要学习的组合。

设计意图：从实际生活出发，通过容易混淆的问题引发学生的认知冲突，且通过对两个问题的比较，引导学生初步形成对组合概念的感性认识。

问题2：同学们能否再举出一些生活中类似的例子呢？

设计意图：让学生了解引入新知识的必要，同时感受到数学来源于生活又服务于生活。

二、类比探究，构建概念

问题3：比较下列两个问题，并发现它们之间的关系：

（1）从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？

（2）由1，2，3，4这4个数，可以构成多少个含有3个元素的集合？

师生活动：学生发现前者是排列问题，而后者是组合问题。两者的关系是：两题都要从1，2，3，4中选出3个数，前者要考虑顺序，后者不必考虑顺序。

设计意图：对问题1进行初步数学化，强化学生对组合与排列的认识和理解，从而发现两种问题的联系与区别。

问题4：分析问题1中的第（2）问与问题3中的第（2）问有什么共同特征？可以用怎样的数学模型进行刻画？你们能否用数学语言概括出组合问题的基本特征？

师生活动：问题1中的第（2）问可以用数学语言概括为：从3个不同的元素a，b，c中任取2个合成一组，共有多少种不同的选法？

问题3中的第（2）问可以用数学语言概括为：从4个不同的元素a，b，c，d中任取3个合成一组，共有多少种不同的选法？

设计意图：引导学生从特殊问题中提出组合的模型，再归纳出组合的一般概念。

组合的概念：一般地，从n个不同的元素中取出m（m臆n）个元素合成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。

问题5：（1）ab和ba是相同的组合吗？是相同的排列吗？

（2）两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？

师生活动：教师引导学生得出排列与组合的相同点与不同点。

（1）ab和ba是相同的组合，不是相同的排列。

（2）排列：元素相同，元素排列的顺序相同。

组合：元素相同，不考虑元素的排列顺序。

师生活动：由学生进行计算。

设计意图：熟悉组合数公式的构成，并对组合数公式进行简单应用。

五、归纳小结，把握重点

师生活动：教师引导学生总结本节课的知识要点，学生交流体会，多媒体展示小结。

设计意图：学生大胆发言谈收获，教师及时点评并归纳总结，使学生对所学的内容有一个系统的认识。

六、课后思考，交流探讨

在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时，从100件产品中任意抽出3件。

（1）一共有多少种不同的抽法？

（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有几种？

（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？

（4）若合格品中有1件是精品，且此精品没有被抽出的抽法有多少种？

设计意图：学生进一步理解组合的概念，进一步加深对排列与组合的本质———有序、无序的理解。

（作者单位：湖南理工学院）