数学新知识——从理解到熟练运用的教学

摘 要：本文主要论述了数学新知识点教学的从理解到熟练运用的问题，指出既要学习概念、公式、定理、步骤等理论性的部分，更要通过模仿性解题、相应的练习、细节考虑、互动等教学方法来达到熟练运用的程度，同时也通过知识的讲解达到有关能力和素质的提高。

关键词：知识；理解；运用；能力；素质

一、 引言

新的知识理解只是学习知识的第一个环节，理解了还要能够熟练运用这是学习知识的第二个环节，当然熟练运用少不了知识的记忆。那么从理解到熟练运用，在数学的学习中，我认为至关重要的就是要进行必要的归纳总结和适当的练习。归纳总结是自己对知识（概念、公式、定理、方法、技巧、步骤、符号等）的梳理叙述，适当的练习就是在这些知识的指导下进行解决各种相关问题的训练，以达到融会贯通、熟能生巧的程度。

二、 如何让学生理解新知识

1. 復习相关知识点。俗话说温故而知新。这是因为新知识里面有旧的知识做基础，还因为新知识蕴藏着旧知识中的思想方法。在第一类换元积分法中，我们需要复习不定积分的概念、不定积分的基本公式（要特别指出所有的不定积分的思路都是要化作基本公式求解）等。

2. 顾名思义。第一类换元积分法，顾名思义，就是要在该方法中突出换元的思想。第一类换元积分法又叫凑微分法，顾名思义，就是要凑微分。那么不定积分中的能视作微分符号的就是d那个符号，所以要凑的就是这个符号后面的内容。另外还要突出理解这个凑字，一个凑字就是告诉我们要好好地凑，想方法地凑。这样，首先对第一类换元积分法有了大致的理解。

3. 定理的证明。第一类换元积分法有个定理，通过定理的证明，我们既讲清了这个定理，又复习了相关的知识，还为后面的方法提供了理论基础。

4. 步骤等知识的记忆。光有定理这个理论还不够，在具体解题的时候还需要一定的步骤遵循。那么在第一类换元积分法中，就是凑微分、换元、求解、还原四个步骤。凑微分凑的是复合函数的中间变量，换元换的就是这个中间变量。求解是用基本公式求解。

5. 互动等方法解决学生心中的疑惑。在讲了定理、步骤等知识之后，学生可能会产生一定的疑惑。而疑惑的解决，最简单有效的方法就是互动。通过互动就会发现，大家对凑这个中间变量有点疑惑。那原因是什么呢？是因为大家对复合函数的分解还有疑惑，自变量、中间变量、因变量不能很好的说清楚。那么就有必要复习一下复合函数的中间变量这个知识，这个知识清楚了，就加深理解了要凑的内容。

6. 经验性总结。光有理论（定理）、步骤的叙述以及疑惑的解决还不够，我们还有必要进行经验性总结。经验性总结，其实就是技巧之类的东西，就是解决问题的重点和难点，通过它，就能活学活用所学的知识。那么第一类换元积分法有两个关键，一是要找准复合函数的中间变量，二是要想到运用哪个基本公式。

通过以上六个步骤，新知识的理论部分就差不多讲完了。

三、 如何让学生熟练运用新知识

光有了理论基础，还不一定能够解决实际问题，还需要一定的训练。那么第一类换元积分法的教学我认为可以遵循以下六个思路。

1. 模仿性训练。前面的四个步骤我们已经讲得很清楚了，那么我们就可以出相应的运用这四个步骤的题目。这样的题目很多。

2. 细节的教学。在四个步骤的具体运用中，我们就会发现一个细节其实也很重要，就是凑微分的时候要进行的是恒等变形。而这个恒等变形就需要微分的基本公式等一系列运算。如果这个细节不处理好，题目也会运算错误。如果这个细节处理得好，就会能使我们更快更准确地找到要凑的中间变量。所以细节的教学是必要的和重要的。

3. 变式训练。变式训练是为了加深对知识的理解，也是为了能解决相对复杂和难的问题。这也是必要的。

4. 练习及重复。经过一定的老师示范，为了让学生更好地掌握，就有必要让学生自己练两道。这样可以看看学生是否真的会运用了。可以先讲几道题目，让学生练习一道，然后再讲几道题目，再让学生练习一道，这就是重复，并进行题目的讲解，指出错误，再次突出重点。题目可以由易到难。

5. 个别指导。在进行练习的时候，黑板上有同学练习，教室里其他同学也在练习。可以教室里走走看看大多数同学的做的情况，并指出几个同学的错误，进行相应的指导。这也是对所有同学的指导。

6. 理论总结的互动。在进行了题目讲解和必要的练习后，可以让学生总结这节课的教学内容，特别判断其是否体会到两个关键，是否达到了这个水平。不管有没有，都要再次得突出这个重点。

四、 学生的能力和素质的培养

整个课堂的教学是围绕一个定理及证明，四个步骤，两个关键展开的。那么在知识的掌握中，还要培养学生的能力和素质。一个是严格推导的推理能力，这体现在定理证明的教学中，教学中要突出这一点，一定要不断积累和养成运用正确概念和方法严格推理的能力。一个是不断提出问题、分析问题、解决问题的能力，这体现在各道题目的解决中要正确地找到中间变量这个量的过程中，中间变量有时候很难找，会有疑惑，这时就要自己向自己提问解决掉这个问题。一个是综合运用所学知识解决问题的能力，这体现在既有解决问题的四个步骤，还要涉及微分的基本公式和运算等。一个是准确计算的能力，这体现在每道题目中。当然在知识的学习和能力的培养中，学生的素质也提高了。比如实事求是、要严谨、要善于提问和解决问题、要细心、专心等等。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学第六版[M].北京：高等教育出版社，2007.

作者简介：董仲超，江苏省常州市，常州信息职业技术学院。endprint