关于均值不等式的几点思考

摘要：在不等式理论当中，均值不等式是其核心内容。在教学中，帮助学生掌握均值不等式相关理论知识和公式，所起的作用显著。本文通过联系教学实践以及高职数学教学当中的相关内容，探讨了对均值不等式的基本认识、均值不等式的运用，希望能够提供一定的教学参考。

关键词：均值不等式；教学思考；运用

一、 均值不等式的基本认识

均值不等式在中学数学当中已经出现，形成一个基本的公式，即ab≤a+b2（a，b≥0），它在不等式的相关内容中具有核心地位。在初等数学当中，要求当且仅当a=b时，等号成立。根据ab≤a+b2（a，b≥0）则有几个基本的均值不等式公式。它们均要求a，b...均相等时，等号成立。同时还有一个基本要求在于运用均值不等式求最值时，有“一正二定三等”基本规定。基于上述基本公式，可拓展出一个固定的不等式链条，即：21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22。基于这个基本形式可以将其推广至n维。

二、 均值不等式的运用

均值不等式可以运用至多个数学问题当中，并以此来解决问题。比如最值问题、极限问题、不等式证明等。

（一） 最值问题

数学中的求最值问题，最有效的手段就是利用均值不等式。

例若x<54，试求y=4x-2+14x-5的最大值。

解析：从已知条件和原式来看，将已知条件变换之后可以得到5-4x>0，而原式当中4x-2以及14x-5并不是常数，所以需要对其进行拆分、凑项，用换元法解决问题。分析原式等于4x-5+14x-5+3，也就可以得到算式-5-4x+15-4x+3≤-2+3=1，只有当4x-5=14x-5，即x=1时上述算式成立。所以当且仅当x=1时，y取最大值1。结合这一问题，直接用凑项的方法就可以解决。

（二） 不等式证明

例若f（x）在区间连续，x∈[a，b]，f（x）>0，试证明∫baf（x）dx∫badxf（x）≥（b-a）2。

解析：对于这一问题，利用基本的不等式链条21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22及其拓展来分析，取调和平均数与算术平均数之间的关系进行证明，则比较简单，即21a1+1a2+…+1an≤a1+a2+…ann，即（a1+a2+…+an）·1a1+1a2+…+1an≥n2，根据已知条件可知f（x）和1f（x）在[a，b]区间内均可积，此时利用积分定理，把区间n等分，进一步用均值不等式结合换元后命题即可得证。

三、 注意等号成立条件的限制

结合上述分析，不难看出，运用均值不等式关键在于一正二定三等，它们应当同时存在，缺一不可。在基本不等式复习课堂上，要求学生计算f（x）=sinx+2sinx（sinx≠0）的最小值。学生很快就计算得出答案22。计算方式采用均值不等式。但是在教学中提出问题，能够培养学生质疑能力。例如：22是否为最小。这个问题提出之后，学生开始展开讨论，发现似乎还有负值，没最小值。这种疑问显然忽略了均值不等式的一个前提条件“一正”。通过转换后提负号这个条件就使用了，此时答案可正可负，如果限定sinx>0，最小值就是22，此时笔者要求学生解方程sinx+2sinx=22，发现无解。也就是说最小值为22是错误的。其实这个答案是正确的，因为学生忽略了第三个条件—“三等”。

尤其是这个“三等”，不注意就會导致解题失误。因为等号成立的条件有一定的制约作用。

结束语

均值不等式的价值重大，包含初等数学和高等数学相关知识点。高职数学教学中，使学生掌握好均值不等式具有十分重要的作用。结合教学经验进行了知识点的探讨与思考，可能有所不足，但是具有一定的教学参考价值，希望能够起到抛砖引玉的作用。

参考文献：

[1] 赵秀.均值不等式的应用与实践[J].黑龙江科学，2016，23：25-26.

作者简介：孔庆荣，江苏省镇江市镇江高等职业技术学校。endprint