群论与线性空间的教学

王施伟+鲁金川+江琪+史叶萍+周悦

摘 要： 线性空间和群论是代数学中的重要内容，它们存在许多相似的地方。注意到线性空间关于加法成Abel群，所以群的某些性质在线性空间中也应成立。本文运用群论中群的同态基本定理，证明线性空间中关于同构的两个性质。

关键词：群论；同态基本定理；线性空间；同构

一、 引言

线性空间是高等代数中重要的研究对象。群论是近世代数里的基本内容，随着代数学的发展，线性空间和群论在数学研究中的作用越来越重要，现在已经成为代数领域的重要研究工具。同时，线性空间和群论本身都是重要的研究对象。线性空间和群论存在许多相似的概念和定理。

王萼芳、石生明等学者对线性空间以及其上的重要概念做了很多研究，比如线性子空间、线性变换等，得到了许多重要结果。聂灵沼、丁石孙等学者对群及其上的重要概念和定理进行了很多研究，如群同态基本定理、群同构等，也得到了许多重要的结果。但是这些学者的研究方向大多是仅在线性空间或者是群上，并没有将它们统一联系起来。因此，为了更好地学习高等代数和近世代数以及找到高等代数和近世代数之间更深层的联系，我们需要做进一步的分析与研究。

本文通过线性空间与群论的对比，发现线性空间关于自身的加法成Abel群，所以群论中的相关性质在线性空间中也应成立，如群的同态基本定理等。

文献[1]给出了线性空间上的重要概念和公式以及部分重要定理的证明。文献[2]给出了群论中的重要概念、公式及相关重要定理的证明。

本文共分为两个部分。第一部分，给出线性空间和群论的重要定义以及定理的概念。第二部分，给出本文的主要结果，即线性空间中关于同构的两个性质，并用群论的相关结论给出证明。

二、 线性空间和群论的基本概念

本章中，我们会给出线性空间和群论的相关基本概念。

首先我们给出线性空间的定义。

参考文献：

[1]王萼芳，石生明.高等代数（4版）[M].北京：高等教育出版社，2008：244-303.

[2]聂灵沼，丁石孙.代数学引论（2版）[M].北京：高等教育出版社，2016：23-60.

作者简介：王施伟，鲁金川，江琪，史葉萍，周悦，江苏省南京市，南京信息工程大学数学与统计学院。endprint