函数形式的单调有界原理的证明

刘晓兰

【摘要】引入实数的连续归纳法，用它证明函数极限的单调有界原理，进而数列极限可以作为函数极限的特殊情形讨论。

【关键词】函数 极限 单调有界原理 数学归纳法

【中图分类号】O171 【文献标识码】C 【文章编号】2095-3089（2018）49-0122-01

在微积分教材中，在介绍极限时，不管是在非数学专业的高等数学教材中还是数学专业的数学分析教材中，都是先介绍数列的极限，然后再介绍函数极限，本文引入张景中院士提出的关于实数理论的“连续归纳法”，证明函数极限的单调有界原理，这样数列形式的单调有界原理就可以作为其特例理解，从而教材可以把函数极限和数列极限调整顺序。

1.关于正整数的数学归纳法原理

第二数学归纳法：设有一个与自然数n有关的命题P（n），如果：

（1）当n=1时，命题P（1）成立；

（2）假设对任意自然数1≤n

2.关于实数的连续归纳法原理

定理1 设P（t）是涉及实数t的一个命题，满足：

（1）存在区间[t0，t1），使P（t）在此区间上成立；

（2）对任意区间[t0，s），P（t）在此区间上成立，可推出存在t2>s，P（t）在区间[t0，t2）上成立；P（t）则在[t0，+∞）上成立。

3.函数极限的单调有界定理

定理2（函数极限的单调有界定理）

设函数f（x）在[a，+∞）上单调有界，则极限 f（x）存在。

证明：不妨设f（x）是单调递减的，若 f（x）存在，由f（x）的递减性，可得？坌x∈[a，+∞），必有f（x）≥ f（x）， 即 f（x）是f（x）的下界。

下面，用反证法证明定理结论，若 f（x）不存在，则f（x）的任何下界都不是f（x）的极限。

设P（t）表示命题：t是f（x）的下界。

由定理条件f（x）有下界，设t0是f（x）的下界，即P（t0）成立，由反证假设 f（x）≠t0，则？埚ε0>0，？坌n，？埚xn>n，使得f（xn）≥t0+ε0。

由f（x）的单调性及？坌x∈[a，+∞），？埚xn>x，有f（x）≥f（xn）≥t0+ε0成立，从而P（t）在[t0，t0+ε0）成立，即归纳基础成立。

假设对任意t0≤t0，？坌n，？埚xn>n使得f（xn）≥s+ε0。

由f（x）的单调性，及？坌x∈[a，+∞），？埚xn>x，有f（x）≥f（xn）≥s+ε0。

即s+ε0是f（x）的下界，从而P（t）在[t0，s+ε0）成立，也即归纳假设成立。

由连续归纳法，P（t）在[t0，+∞）上成立，即[t0，+∞）上的任何数都是下界，矛盾！

故 f（x）存在。

类似可证下列结论：

定理3 设f（x）为定义在U+°（x0）上的单调有界函数， 则右极限 f（x）存在。

（类似可得关于 f（x）， f（x）， f（x）的单调有界定理）

数列可以看作是一类特殊的函数xn=f（n），若数列是单调有界的，则由函数极限的单调有界定理得数列的单调有界定理.

定理 4（单调有界定理）单调有界数列必有极限。

现在的很多教材比如[4]，先讲特殊的数列极限，再讲一般的函数极限，而在介绍了用实数的连续归纳法证明函数形式的单调有界原理后，就可以先介绍范围更广泛的函数极限，数列极限就作为它的特殊情况介绍。

参考文献：

[1]张景中，曹培生.从数学教育到教育数学（最新版） [M].北京： 中国少年儿童出版社.

[2]张景中.数学与哲学[M].长沙： 湖南教育出版社，1990.

[3]复旦大学数学系.数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社.

[4]华东师范大学数学系.数学分析上册（第四版）[M].高等教育出版社.

[5]徐永春，关金玉等，用连续归纳法证明实数系中的定理[J].数学的实践与认识.2007（37）144—146.