“以形助数”须谨防图形失真

何国坚

[摘 要] 数形结合思想是一种重要的数学思想，利用数形结合思想解题，常可收到化难为易、化繁为简、化隐为显的功效.但在利用“以形助数”解决问题时，须注意图形的等价性、完整性、准确性和存在性，谨防图形失真.

[关键词] 以形助数；等价性；准确性；存在性；完整性

“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非”. 数形结合思想就是使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，由“数”想“形”，由“形”思“数”. 利用数形结合思想解题，常可收到化难为易，化繁为简，化隐为显的功效.但在利用“以形助数”解决问题时，如果忽视图形的等价性、完整性、准确性和存在性，往往会导致错误结论的产生.

注意图形等价性

图形的等价性是指在利用数形结合解题时，仅利用了图形的一般情况得出结论，而没有对图形的等价性进行研究，从而导致错误或片面性失误. 为此在利用数形结合思想解题时，一定要注意图形的等价性，利用图形的等价性解题.

案例1 在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={（x，y）x+y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B={（x+y，x-y）（x，y）∈A}的面积是多少？

错解：画出平面区域A，如图1，设s=x+y，t=x-y，由图知：0≤s≤1，-1≤t≤1，即平面区域B={（s，t）0≤s≤1，-1≤t≤1}，所以平面区域B的面积是2.

剖析：要求平面区域的面积，首先应准确地画出平面区域，而区域B的表示有点反常规，上述错误是学生容易犯的错误，错误的原因是没有把相关等价条件全写出来，从而扩大了平面的区域.正确解法是：设s=x+y，t=x-y，所以B={（s，t）0≤s≤1，-1≤t≤1}，作出上述不等式组表示的平面区域B，如图2所示，根据图形可知平面区域为等腰直角三角形，所以面积是1.

在利用数形结合法解题时，由于图形的准确性不强，仅由“大致”图形之间的关系得出结论而导致失误，为此应准确画出图形，要将图形的直观分析与推理论证相结合.

案例2 设二次函数f（x）=ax2+bx+c，a>0，方程f（x）=x的两个根为x1、，x2，且满足0

错解：设y=f（x），y=x，方程f（x）-x=0的两根实质上是函数y=f（x）与直线y=x交点的横坐标.作出上述两个函数的图形，如图3，由图形的直观性可知：当x∈（0，x1）时，x

剖析：事实上函数f（x）=ax2+bx+c与直线y=x的交点除了上述情况外，还有一种情况，即两个交点在抛物线的对称轴的同侧，从而导致了错误的产生.

正确解决如下：

除错解中的情况以外，还应包含两个交点在抛物线的对称轴的同侧，此时有x0，f（x）-x=a（x-x1）（x-x2）>0，所以f（x）>x，即有x

注意图形的存在性

在利用数形结合法解题对，往往只注意形与形之间的大致位置关系，没有对它们的存在性进行严密的考察，从而导致失误，为此在使用数形结合时一定要注意图形的存在性，不能无中生有.

案例3 已知抛物线y2=2px（p>0）上有一条长为a的动弦AB，求弦AB的中点M到y轴的距离的最小值.

错解：如图4，设抛物线y2=2px的焦点为F，准线为l，过A，B，M分别作l的垂线，垂足分别为A′，B′，M′，连结AF，BF. 设M到y轴的距离为d，由抛物线的定义知：

d=MM′-=-=≥=，

所以dmin=.

剖析：上述解法中取到最小值的条件是A，B，F共线，即弦AB过焦点F，而抛物线焦点弦的取值范围是[2p，+∞），所以要使弦AB过焦点F，必有a≥2p，而题设中并没有这个条件，忽视了图形的存在性，从而导致失误. 事实上，只有当a≥2p时，才有dmin=，而当a∈（0，2p）时，需利用代数方法得到dmin=.

注意图形的完整性

在利用数形结合法解题时，我们经常是只画出图形的局部，只考虑这种局部的图形，而没有对图形的整体进行考察，有时也会导致失误.为此在使用数形结合思想时，要注意所用的图形是否完整，对有多种情形的题目，一定要分类讨论，不能以偏概全.

案例4 已知抛物线C：y=-x2+mx-1，点A（3，0），B（0，3），求抛物线C与线段AB有两个不同交点时m的取值范围.

错解：令f（x）=-x2+mx-1，则二次函数f（x）的图像的顶点坐标为，，结合图5知抛物线和线段AB有两个交点应满足：

>3-，0<<3，f（3）≤0，f（0）≤0，解之得：-1+

剖析：上述解法仅仅考虑了抛物线的顶点在线段AB上方这一情形，思维片面，导致错误. 事实上，它忽视了顶点在线段AB上和顶点在线段AB下面时，抛物线与线段AB也有两个交点的情形.正确解法如下：AB方程为：x+y=3，代入抛物线方程得：x2-（m+1）x+4=0，则x2+4=（m+1）x，令f（x）=x2+4，g（x）=（m+1）x，等价于y=x2+4与y=（m+1）x在[0，3]上有兩个不同交点，由图6知：3

数学思想方法是数学的精髓，是学生形成良好认知结构的纽带，是知识转化为能力的桥梁，也是培养学生良好的数学观念和创新思维的关键. 从上面的分析可以看出：虽然数形结合思想是中学数学中最常见、最有效的思想方法之一，但“形”的直观也往往会致使我们失之偏颇. 因此，在利用数形结合法解题时，特别要注意图形的等价性、准确性、存在性和完整性，确保图形的真实性，谨防图形失真.