数学建模思想融入高职数学教学的探索与实践

张丽华

弗赖登塔尔是荷兰籍世界著名数学家和数学教育家，他对数学教育教学独特而深刻的见解可以概括为3个词：现实、数学化、再创造.数学建模思想恰好突出了“创造、创新”与“数学化”的弗氏教育思想内涵，随着计算机技术的发展，数学建模和与之相伴的科学计算日益成为将数学工具应用于众多领域中不可或缺的桥梁和关键，因此，在探索高职数学课程建设与改革的新思路中，我们要积极开展数学建模活动，努力将建模思想融入到数学基础课程教学中.

1　数学建模思想释义

数学模型是对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构［1］.数学建模就是建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）［2］.因此，数学建模思想的过程可以表示为现实问题数学模型现实问题解现实问题.应用数学建模思想可以把实际问题进行简化，通过数学语言描述出实际现象，就能解决很多实际问题.“曹冲称象”是个耳熟能详的著名典故——如何用小秤称大象，当满朝文武百官百思不得其解时，小小曹冲就突发奇想，把大象“变换”成石头，分别称这些石头，石头的总重量就是大象的重量.它揭示了从提出问题到解决问题的一个认知过程，即如果直接去研究、解决问题很困难，没有大秤可以直接称大象，那就变“直接”为“间接”，将大象变成石头，这些石头就是大象的模型，通过建立模型就可以用小称来称石头，石头的重量便是大象的重量了，这样就克服了局限性，使问题解决.通过“曹冲称象”我们还可以看到：对于同一个问题，模型可以有多种，充满着灵活性，如大象“变成”木头也可以；而建立模型解决问题并不是死板地“照相”，是能充分发挥人的主观能动性的.因此，“曹冲称象”的建模思想方法既可以简化问题、突出重点，又可以猜想、创造等.又如历史上著名的“哥尼斯堡七桥问题”，此问题是：能否从四块陆地A、B、C、D之一出发走遍每一座桥，一次且仅一次，而后回到出发地？数学家欧拉就是巧妙地运用了建模思想把小岛、河岸抽象成了“点”，把桥抽象成了“线”，把“七桥问题”转变为由点和线组成的“图”模型，应用图论知识说明如果每座桥只许通过一次，就不存在一次走遍七座桥的走法.

2　数学建模思想融入高职数学教学的意义

将数学建模思想融入高职数学教学中，可以推动数学教育体系的改革，推动数学教学与数学课程的融合，推动现代教学理论与实践的结合，推动数学教学方法和手段的改革，对加快高职院校人才培养模式的改革同样起到了推动作用.

在数学建模过程中，经历了直觉→探试→出错→思考→猜想→验证几个阶段，完全符合学生认知过程的发展规律.通过数学建模，学生不仅仅能学习数学的演绎思维，还能从传统的数学教学中走出来，去应用数学，让杂乱无章的实际问题变得清晰有序，真正感受数学的美妙.通过建模训练，学生的综合素质得到了培养和提高，主要表现在以下方面：学生的资料查阅、文献检索、组织和写作能力得到训练；绝大多数学生觉得课堂小组讨论很有趣，积极参与的同学尤其有满足感和成就感；学生的语言表达能力和交流沟通能力得到了训练；基于专题的讨论训练了学生的推理水平，加深了学生对相关课程知识的理解和掌握；学生的团队意识和合作能力得到了培养；学生的创新思想得到了实现.

3　数学建模思想融入高职数学教学的途径

在教学实践中，为了多角度、全方位地培养渗透建模思想，将建模思想融入课程教学中的具体途径如下.

3.1　应用背景模型，充分理解数学概念

数学的很多重大发现都是因为实际应用的需要而出现的，许多数学概念都有其实际背景，也是定理和应用的前提，因此从实际问题中抽象出数学模型，让学生从模型中深刻理解概念是“有用的”，这既增强学生的学习兴趣，又提高学生应用数学知识的能力.例如在讲解定积分概念时，就以“定积分模型”的创建和应用为例，引用几何学中的“求曲边梯形面积问题”和物理学中的“求变速直线运动的位移问题”，通过“分割、近似、求和、取极限”四步建立了求曲边梯形面积的模型；利用同样方法也建立求变速直线运动的位移模型通过分析微元，在建立微元模型的基础上抽象出了定积分的概念.实际上，这种建立模型的过程所体现的定积分思想可以用来解决自然界中许多量的计算问题，如平面曲线的弧长、旋转体的体积、非均匀细棒的质量、变力所做的功、液体的压力等定积分的应用问题.又如在讲解导数定义时，也可以引用物理学中的“求变速直线运动的速度问题”和几何学中的“求曲线的切线问题”，通过建立模型而抽象出导数的概念.利用实际背景建立模型来讲解数学概念，可以将其本质讲清、讲透，既利于学生对概念的理解掌握，又教会学生分析问题、解决问题的方法.

3.2　深入结合模型，不断强化定理应用

教材中的公式、定理、理论体系等都是一些具体的数学模型，教学时应该向学生展示其产生和发展，让学生了解和体会“现实问题→数学建模→解决问题→实际应用”的建模过程，不断加深定理的理解和应用.例如，在学习一元函数介值性定理时，可引进与该部分内容相关的两个实际例子，其一“椅子能否在不平的地面上放稳的问题”，在分析问题的实际背景和实际含义后，可以把看似与数学无关的“放稳”问题通过模型假设、模型建立、模型求解来巧妙地解决.解决该问题的思路是：椅子“放稳”问题（现实问题）各椅脚离地面距离（数学问题）椅子“放稳”问题.这个建模实例使学生看到了如何用抽象的介值定理来解决实际问题的方法.又如也可以讨论这样一个实际问题“一个煎饼，不论形状如何，必可切一刀，使面积二等分”.在学生讨论的基础上，给出实例的解答过程，并以下图的形式反映：煎饼等分问题面积函数现实问题解.问题解决了，但教学活动并未终结，接下来引导学生讨论：两个煎饼，不论形状如何，相对位置如何，必可切一刀，使面积二等分；三个煎饼，不论形状如何，相对位置如何，能否切一刀，使面积二等分；一个煎饼，不论形状如何，是否能以相互垂直的方式切两刀，使面积二等分等一系列问题.

以上两个实例启迪了学生如何用数学语言描述似乎与数学无关的现象，如何用数学建模的工具对它加以证明，如何在定理应用中把每个模型扩展到更大的适用范围和空间，在建模思想的广泛迁移中，学生可以逐步领悟到数学的应用价值.

3.3　注重案例教学，培养建模思维能力

根据高职学生特点和学生就业所面向的职业岗位群，在教学过程中选择一些日常生活和生产实践的相应数学模型进行案例教学，能真正激发学生的学习兴趣，为后续的专业学习打下良好的基础.例如，在学习“用二分法求方程的根”问题时，可以创设这样的案例，“有一段自来水管埋在地下，水表显示有漏水现象，为了尽快找到漏水点，应该如何挖掘？”于是，学生在教师引导下会简化水管的长度、水管埋设的深度是否均匀、水管老化程度、重新埋设一条水管的费用相比等一系列问题，采取“数学建模眼光”来“寻找”这个漏水点，学生将顺着老师的思路“走”到了“二分法”的构想，用二分法求方程的根的解题思路也就迎刃而解了.又如，在学习“线性方程组的解”问题时，引入“工资问题”——现有一个木工、一个电工和一个油漆工，三人相互同意彼此装修他们自己的房子，在装修之前，他们达成了如下协议：每人总共工作10天（包括给自己家干活在内），按照木工家、电工家、油漆工家的工作顺序，木工工作天数的分配方案为2∶4∶4，电工工作天数的分配方案为1∶5∶4，油漆工工作天数的分配方案为6∶1∶3；每人的日工资根据一般的市价在60～80元之间；每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等.如何计算出他们每人应得的工资？通过分析问题并建立模型，联立三个方程得方程组，求解齐次线性方程组难度不大，根据工作天数的分配方案表建立线性方程组也比较容易，这类问题的关键是要设计合理的工作天数分配方案表，使得最后计算出的每一个工人的日工资数基本上均等，或相差不是太大，同时还要与市价的日工资基本上相符合.最后得到木工、电工及油漆工每人每天的日工资为62元，64元，72元.在这样的案例教学过程中，不仅把学生从“无意注意”引到“有意注意”，同时激发学生“学会用数学建模的思想进行思考”的学习动机，进而强调解决实际问题的建模过程，强化了数学建模的思想.

3.4　优化教学内容，将建模思想融入教材

根据因材施教、难度适中的原则，教材中可以适当选编一些建模应用实例，在教学实际中引导学生进行建模训练，通过这种教学思路学生就会深刻体会到数学建模思想是解决实际问题的锐利武器，还能大大提高学生分析问题和解决问题的能力.根据多年实践教学经验，把各部分教学内容涉及的数学建模实例汇总如下：极限与连续部分（银行存款复利、产品价格预测、野生鱼数量、断路电阻的极限算法、邮政计价、运输费用、个人所得税计算公式等模型），导数与微分部分（人口模型、最佳订货周期模型、最大收益模型、边际问题、气球体积关于半径的变化率、圆柱形水桶放水、上升的气球、向圆锥形水箱注水、摄影运动的物体、滑动的梯子等模型），导数应用部分（容积最大、运费最省、收益最大、患病率、强度最大、铁皮最省、电功率最大、利润最大、体积最大、宽度最小、运费最少、大道最短、材料最省、利润最大、建筑塔吊吊起重物、铁道弯道设计、工件磨削等模型），积分及其应用部分（跟踪问题模型、Logistic模型、人口模型、生物竞争模型、布朗运动、自由落体运动、上抛运动规律、曲边梯形面积、变速运动位移、锥体积、变力做功、提升一个漏水桶、汽车悬挂系统、抽水所做的功、打桩所做的功、三峡大坝、木杆的质量、任意形状均匀薄板的质心、单位时间的流量捕鱼成本问题等模型），级数部分（服药问题等模型），极值问题部分（“牧童”经济模型、最优价格模型、渔业资源管理等模型），微分方程部分［3］（案发时间的推算模型、Mal⁃thus生物定律与人口方程模型、种群的增长与调节的Logistic方程、种群间竞争的Lotka-Volterra方程、渔场防止捕捞过度问题、猪的最佳销售时机、永久免疫的传染病扩散问题、非永久免疫的传染病扩散问题、汽车前灯的设计问题、Huygens钟摆模型、鱼雷追击敌舰、单摆运动规律、核放射性核废料处理等模型），拉普拉斯变换部分（自动控制应用、周期脉冲三角波、简谐运动、RC串联电路等模型），线性代数初步知识部分（投入产出模型、产品数量价格收入和利润等模型［4］）.只要教师在平时注意搜集整理，就可以很方便地运用案例来科学引导学生掌握具体的知识内容，同时不断培养学生的建模思想和建模方法.

3.5　平移建模竞赛形式，实施开放式评价

培养学生的数学建模能力、将数学建模思想融入高职数学教学中，就是实施理实一体化课程的良好途径，这将成为数学教学改革的一个方向.而随之数学课程考核方式也应从单一的闭卷考试转变为多样化开放式的考核，即除了通过基础知识考核必要的数学理论素养外，还可参考数学建模竞赛形式加入实践考核环节.可以结合本专业的实际，出一道建模题，考查学生利用数学知识解决本专业相关实际问题的能力，这样不但能够考核学生当前的数学能力，还能发现其学习潜力，分值比例仍以理论考核为准，6∶4或者7∶3都是可行的.只有理论和实践共同考查，才能使实践教学真正落到实处，达到预期效果.为了达到较好的考核效果，在平时的作业布置环节就可允许学生自行建立数学模型，经过师生共同探究，再由学生自己尝试着去解决，以提高学习的成效.结合学校实际，开展数学建模活动也可以采取以下几种方式：讲授与讲座结合；课内与课外相结合；教师讲与学生讲相结合；知识教育与素质教育相结合；严谨性与趣味性相结合等.

4　结论

对职业院校数学学科的教学而言，目前教学理论与教学实践两张皮的情况依然十分严重.而数学建模思想的学习有助于缩短教学理论与实践的距离.如果在教学中我们能够紧密结合学生的学习活动、专业实践活动、职业（岗位）活动，应用数学建模思想培养学生，就会不断提升学生自觉运用数学的意识，并使他们获得进一步学习、构建新知识的能力.

参考文献：

［1］姜启源.数学建模［M］.第2版.北京：高等教育出版社，2005.

［2］姜启源，谢金星.数学模型［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［3］朱道元，等.数学建模案例精选［M］.北京：科学出版社，2005.

［4］王冬琳.数学建模与实验［M］.北京：国防工业出版社，2004.