导问：让思维成长——以一道高三数学难题的教学为例

一、教学过程

2018年1月苏州市高三数学学业“阳光指标”调研试卷上有这样一道题：

已知函数

（1）当a=2时，求函数的单调区间；

（2）若方程f（-x）+f（x）=ex-3在区间（0，+∞）上有实数解，求实数的取值范围；

（3）若存在实数 m，n∈［0，2］，且|m-n|≥1，使得f（m）=f（n），求证

本题第（1）小题属基本题，第（2）小题属中档难度题，最后一小题属难题。笔者曾先后听过三位老师对该题的评讲，其中有两位老师几乎直接讲解命题者提供的参考答案，对思维过程没有进行必要的分析。另一位老师对题目作了一定的分析，但分析中明显透露出这样的痕迹：其思维过程是在对命题者提供的参考解答作了比较详细的研究后根据参考答案“反推”出来的。上述是在数学解题教学（特别是一些难题讲解）过程中普遍存在的两种做法，它们对提高学生的解题能力并无益处。因为我们的教学并不是教会学生如何做题而是教会学生如何思考，从应试的角度来看，学生走进考场拿到的是一张没有答案的试卷，需要学生独立思考并解答。

解题教学是数学教学的一个重要组成部分，它对培养学生思考能力、提升数学思维品质、提高数学素养有着得天独厚的优势。而有效的解题教学的一个重要抓手就是实施“导问式教学”，通过“导问”让学生的思维真正得到发展。

导问式教学指的是“以问题为载体、以导问为手段”的教学方式，其主要特点是教师把与目标问题相关的小问题串成一个问题链，通过引导启发学生主动思考探讨，在问题链的解决过程中进一步引导学生提问，从而培养学生的问题意识，促进教学目标的达成。

作者曾在学校高三理科班中利用“导问”的方法对本题做了讲解，下面呈现本题第（3）小题的教学过程。

1.初审题目，辨析条件。

首先让学生静视默念题目（这一步要给学生相对充足的时间，这一点非常重要）。在学生静视默念题目的同时设置几个提示性问题：

问题（1） 条件“m，n∈［0，2］”暗示着什么信息？

问题（2） 怎样理解和应用条件“|m-n|≥1”？

问题（3）“f（m）=f（n）”怎样理解？能否等价地转化为与其相关的其他条件？

2.问题剖析，引导思考。

条件“m，n∈［0，2］”表示所研究的两个量m，n 都在区间［0，2］内，而［0，2］是［0，+∞）的子集。我们从这两个条件可知现在我们要研究的仅仅是复合函数f（x）的一部分，即当x≥0时f（x）=ex-ax的情形。

条件|m-n|≥1意指在数轴上表示m，n实数的两个点有什么特性？通过这样的提问学生很容易回答出这两个点的距离不小于1。在学生得出这个结论后紧接着导问：结合条件m，n∈［0，2］可以得到什么样的信息呢？此时让学生展开讨论，通过对“|m-n|≥1”和“m，n∈［0，2］”的不断重复默念让学生逐步感知到“两个实数m，n一个在区间［0，1］内而另一个在区间［1，2］内。换句话说，它们不可能同时在区间的左半部分也不可能同时在其右半部分”，于是我们不妨设“0≤m≤1≤n≤2”，这是一个很重要的突破。但是，为了让学生更好地理解这一转化，可进一步导问：“|m-n|≥1 且 m，n∈［0，2］”与“0≤m≤1≤n≤2”等价吗？学生通过分析很容易知道“|m-n|≥1 且 m，n∈［0，2］”是“0≤m≤1≤n≤2”的充分不必要条件，通过这一问题的追问让学生知晓在数学问题的解决过程中有时是可以用到“不等价转换”这一方法的。

如何理解条件“f（m）=f（n）”？不同的学生会对此有不同的理解，教师主要引导学生用直观的语言翻译这一条件，很多学生这样回答：在区间［0，2］内存在两个不同的自变量 m，n，它们对应着同一个函数值。

教师进一步设计问题：“存在两个不同的自变量m，n，它们对应着同一个函数值”这句话说明了函数f（x）具备或不具备什么样的性质？通过不断重复“存在两个”这四个字引导学生得出函数“f（x）在区间［0，2］不是单调的”这一重要结论，从而使问题得以简化。

3.问题再探，步步紧逼。

此时，让学生充分酝酿，在思考的基础上明确研究函数f（x）单调性的必要性，于是进一步设计如下问题：

问题（4）当x∈［0，2］时，f（x）的表达式是什么样的？研究其单调性需要求什么？

问题（5）得出f′（x）=ex-a后，思考“f（x）在区间［0，2］不单调”隐含着什么结论？

此时，对这两个小问题进行研究得出：a≤2 时函数 f（x）在［0，＋∞）单调递增，从而在［0，2］也单调递增，于是不存在满足条件的m，n，因此a＞0。此时可判断出函数f（x）在［0，lna）上单调递减而在［lna，+∞］上单调递增，此时再次追问：

问题（6） 我们已经知道“f（x）在区间［0，2］不单调”，由此可得出什么样的结论？

通过师生探讨引导学生得出：0＜lna＜2，即f（x）在［0，lna）单调递减而在［lna，2］单调递增。进一步设计如下问题：

问题（7）我们可由条件“f（m）=f（n）”得到什么结论？由此可得到什么？

设计这一问题的目的是让学生理解m，n不在同一个单调区间内，于是得到0≤m＜lna＜n≤2，结合单调性可知：对任意 x∈［m，n］都有f（x）≤f（m）=f（n）。但有一点值得关注：如果学生直接利用这一不等关系，将得到一个与m，n有关的不等式，这显然与我们最终想要的结论有一定距离。此时，要引导学生追问如下问题：

问题（8） 要证的结论是你认为一般可能会涉及什么知识？注意结论的形式是一个“不等关系”，与我们已经研究的结论有什么关联之处？

当学生联想到可能与函数单调性有联系后进一步追问：所要证的结论中不含字母m与n，这意味着什么？

教师要重复地追问这一个问题，让学生在不断的刺激下联想到这可能与某些特殊自变量所对应的函数值有关系，究竟是哪些“特殊自变量”？让学生回顾条件发现一个重要数据：f（0）与f（2）。

此时，教师引导学生试求如下两个值：f（0）＝1，f（2）＝e2-2a，这与目标式似乎有点接近了。但是目标式中涉及“左、中、右”三个式子，现在只有两个，应该再找一个，找谁呢？

这时，提示学生在分析条件“|m-n|≥1”时曾得到“0≤m≤1≤n≤2”这一重要结论，引导学生联想到：f（1）＝e－a。

4.目标追寻，形成联结。

下一步可以提示学生运用分析法寻找条件式与目标式的关系：由知e-1≤a，于是1≥e-a，即f（0）≥f（1）；而由知a≤e2-e，于是e2-2a≥e-a，即f（2）≥f（1），这是我们最终要证明的结论。

5.容纳新解，活跃思维。

正在笔者以为讲解结束时，一名学生提出了新的想法：“我对条件‘存在实数m，n∈［0，2］，且|m-n|≥1，使得f（m）＝f（n）’是这样理解的，我认为这一条件的含义是‘存在一个常数t，使得方程f（x）＝t在区间［0，2］有两个不同的实数解’，这样一来，我把问题转化为比较熟悉的‘零点问题’，于是进一步把问题转化为‘函数g（x）=f（x）-t在区间［0，2］内有两个不同的零点’”。

笔者不知道这种想法是否可行，但还是非常肯定这位学生的想法，于是在自己没有任何预先准备的情况下与学生一起进行讨论，没想到效果却是出奇地好。教学实录如下——

师：当我们设g（x）=f（x）-t后，题中条件表示着 g（x）在区间［0，2］上有两个零点，下一步你是怎样想的？

生：我是按照求零点的方法做的，首先对g（x）进行求导，刚才您也说到当x∈［0，2］时，f（x）=ex-ax，所以当x∈［0，2］时，g（x）=ex-ax-t因此g′（x）=ex-a，很容易知道当a≤0时，函数g（x）=ex-ax-t是单调递增的，这时它不可能有两个零点，应舍去，因此a＞0，接下来一步与你讲得差不多，也就是当 a＞0 时 g（x）在［0，lna）单调递减而在［lna，2］单调递增。

师：很好，接下来怎么办？

生：由于 g（x）要在 x∈［0，2］上有两个零点，又考虑到它的单调性，这使我想到了开口向上的抛物线的基本性质，要使它在x∈［0，2］上有两个零点，就必须使并且它在［0，2］的最小值小于零。

师：不错，但它的最小值是 g（lna），又怎么处理？

生：我是这样想的，如果能再从 g（lna）＜0得到所要的结论的话，条件中的|m-n|≥1是多余的，这好像不大可能。当我产生了这样的质疑后对这一条件再次进行了分析，得出了与您一样的结论：这两个零点应该分别位于区间［0，1），（1，2］内，于是又得到了 g（1）≤0。我就从这三个条件将所要的结论证明出来了。

师：为什么不是“小于零”而是“不大于零”？同样，对 g（0）和 g（2）而言，为什么它是大于等于零，而不是“大于零”？

生：我是考虑到特殊情况，也就是“两个零点一个正好是零，还有一个在（1，2］内”或者“一个正好是 2，而另一个在区间［0，1）内”，这两种情况都是可能的，换句话说 g（0）和 g（2）都有可能为零。

师：那么，g（1）呢？为什么是“g（1）≤0”而不是“g（1）＜0”呢？你刚才不是说“g（x）在［0，2］的最小值小于零”吗？

生：g（x）在［0，2］的最小值是小于零，但g（1）不是 g（x）的最小值，它是可能为零的。

师：考虑得非常周到。

6.完善解法、规范呈现。

下面根据这位学生想法解题如下：

当x∈［0，2］时，设g（x）＝f（x）－t=ex-ax-t，则 g（x）在区间［0，2］有两个零点。

由 g′（x）＝ex-a，易知当 a≤0 时，g′（x）＞0，g（x）在区间［0，2］单调递增，它在区间［0，2］不可能有两个零点。当a＞0时，由g′（x）＞0知x∈（lna，+∞），由g′（x）＜0知x∈［0，lna）。因此，g（x）在［0，lna）单调递减，而在［lna，2］单调递增。又 m，n∈［0，2］，且|m-n|≥1，因此 m，n 不可能同时在区间［0，1］或区间［1，2］内。因此要使 g（x）在区间［0，2］有两个零点，这两个零点一定分别在［0，1］和［1，2］。

于是

由①②知 e-a≤t≤1，于是 e-1≤a。

由②③知 e-a≤t≤e2-2a，于是 a≤e2-e≤e（e-1）。

即 e-1≤a≤e2-e=e（e-1），得

二、教学启示

通过本节导问式课堂教学的实践，我们可以得到如下启示：

1.课堂教学要尊重学生的需要。

马斯洛需要层次理论告诉我们：个体成长发展的内在力量是动机。对于高中学生来说他们有一种强烈的表现需求，他们渴望通过表现得到同伴和老师的肯定。课堂教学中教师应充分尊重学生的这种需要，给学生相对充足的展示和发言机会。

2.课堂教学时间要大方“下放”。

正因为“导问式教学”是一种以问题链形式出现的教学方式，它更需要教师给学生充足的思考和实践时间，让学生在自主探究、主动设问、实验尝试中获得知识的理解，提升自己的能力。如果没有一定的时间供给作保障，学生的思考只能是浅层次，其学习方式往往也只能停留在听讲这一低级学习活动之中，学习效率也是低下的。

3.课堂教学要给学生以充分的信任。

导问式课堂教学需要给学生一定的自主学习和思考的时间，但是不少教师却往往无法做到这一点。究其原因除了上述提到的赶进度、片面追求课堂容量以外，很多教师认为知识是靠传授的，学生受年龄、知识面以及自主学习能力的限制，许多知识是理解不了的。于是他们讲课时总是滔滔不绝，正是这种事无巨细的讲解磨灭了学生的探究精神和问题意识。其实，学生的能力往往不是我们所想象的那么有限，如果给他们充分的信任，让他们自主探究、自主学习，他们往往会给我们意外的惊喜。

4.导问问题的设计要精致适切。

从问题解决的角度来看，任何一个问题都是由若干个小问题综合而成的，问题解决的过程就是将一个综合的问题分解成若干个小问题，而“导问式教学”的主要目的就是让学生学会在面对一个全新的综合问题时如何通过对条件和结论的剖析自主设置一系列小问题，从而培养学生的问题意识，提升问题解决的能力。导问问题的设计务必精致适切，要在学生最近发展区设计问题，跳跃性太大会造成解决问题的难度，使学生望而生畏；相反，设计台阶太小，会降低学生思维难度，也不利于学生自主学习能力的提升。因此，在实施“导问式教学”过程中教师要把自己当作一个教练，而不是一个运动员，精心设计有一定梯度的问题系列，使学生在长期的熏陶和耳濡目染下自觉地形成问题设计的能力，从而最终提升解决问题的能力。

5.“导问式教学”需不断激励学生。

由于“导问式教学”是以问题解决的方式进行的，而学生的接受能力和知识基础不尽相同，因此在问题解决的过程中学生表现出来的水平也是各不相同的。但无论学生表现得怎样，要想使课堂教学有效，都需要教师发自内心的鼓励，导问式课堂教学更是如此，因为导问式课堂教学本身就是以问题为载体的，而在问题解决过程中由于思考角度的不同和知识基础的差异而出现不同的结果甚至有些结果是意料之外的，所以教师都要以积极的姿态给学生激励。如果学生在出现“错误”或者超乎教师预设的“想法”时他所面对的是“冷漠”甚至讽刺批评，那么他的问题意识会大受挫折，问题解决能力的提高也无从谈起。