基于逆Gaussian过程的MEMS加速度计寿命融合预测方法

周 源，吕卫民，孙 媛

（1. 海军航空大学，烟台 264001；2. 海军工程大学，武汉 430000）

MEMS（Micro-Electro-Mechanical Systems）加速度计是武器装备惯导系统的核心部件，其可靠性与稳定性直接决定了武器装备的作战使用效能，准确掌握MEMS加速度计的寿命信息对于有效开展预防性维修、视情维修等工作至关重要。MEMS加速度计是高精度的机电一体化产品，某些性能参数在工作或长期贮存过程中不可避免发生退化，退化量的累积最终会导致产品失效。已有研究结论表明，MEMS加速度计内部的性能退化综合表现为零位电压的测量值增大[1]，因此，如果将零位电压作为性能退化指标建立退化失效模型，能够预测出 MEMS加速度计的寿命信息。MEMS加速度计的失效机理较为复杂，尚不能通过失效物理分析的手段建立其退化失效模型，这种情况下可考虑采用退化数据拟合的手段建立产品的退化失效模型[2-4]。随机过程由于天然适合描述产品退化的不确定性，目前广泛用于基于退化数据拟合的性能退化建模。将MEMS性能退化数据与Wiener、Gamma、逆Gaussian[5-8]这三种广泛使用的随机过程分别进行拟合表明，逆Gaussian随机过程具有最优的拟合效果，因此本文尝试利用逆Gaussian随机过程构建MEMS加速度计的退化失效模型，从而预测其寿命信息。

产品寿命包括两个层面：第一是产品的总体寿命特征，例如可靠寿命、平均寿命，可作为实施批次产品预防性维修的重要参考[4]；第二是产品中某个体的寿命指标，例如个体剩余寿命，这是开展视情维修工作的重要依据[9]。从发展历史上看，总体寿命特征预测属于传统可靠性领域，采用概率论与数理统计方法进行预测，而个体剩余寿命预测属于PHM（Prognostics and health management）领域，通常采用卡尔曼滤波、向量机等智能算法进行预测。文献[10]通过某型加速度计的历年故障数据评估贮存寿命的分布特征，利用了若干个寿命分布模型与故障数据进行拟合，最终得出此加速度计贮存寿命服从极值分布，贮存寿命为12.94年的结论。此方法需要累积一定数量的故障数据，并不适用于新型MEMS加速度计的寿命预测。文献[11]在预测某型宝石轴承支撑摆式加速度计贮存寿命时，将加速度计时标因数作为性能退化参数，设计了温度加速退化试验高效预测出贮存寿命为64 200 h。此方法是对产品的总体寿命特征进行预测，没能实现个体剩余寿命的预测。文献[12-13]也探讨了利用加速试验快速预测某型加速度计贮存寿命的方法，其中依然探讨的是总体寿命特征的离线预测方法。

以往的研究工作大都没有考虑两类寿命预测的融合，这不仅额外增加了寿命预测的工作量，而且制约了寿命预测水平的发展。为此，本文基于逆Gaussian随机过程，提出了总体寿命特征预测与个体剩余寿命预测的一体化解决方案，并且为了应对目前 MEMS加速度计的样本量较小、测试数据有限的不足，采用融合预测方法提高预测结果的准确性。

1 总体寿命特征预测方法

以上模型中没有考虑产品个体间的退化过程差异，现有研究表明，考虑产品个体之间的退化过程差异有助于提高寿命预测结果的准确性。为了描述产品个体之间的退化差异性，可分别设为服从某种概率分布的随机参数[5,8,15-16]。为了便于统计分析，本文设服从如下共轭先验分布：λ服从 Gamma分布，如；记，且服从如下条件正态分布，如，其中为超参数。

相对于式(3)中基于固定参数逆 Gaussian过程推导出的 CDF，MEMS加速度计基于随机参数逆Gaussian过程的CDF为

2 个体剩余寿命预测方法

图1 产品剩余寿命示意图Fig.1 Residual life of the product

联合后验密度函数 π (δ,λ|Y1:n)由Bayes公式推导出：

其中，

代入式(4)，则：

共轭先验分布与其后验分布具有相同的分布函数，区别只是参数值的变化，据此从式(10)中推导出超参数的后验估计、、、分别为

当得到更多的现场数据时，超参数的后验估计值可不断更新。将、、、、代入式(6)，得到后验剩余寿命的分布函数，进一步可获得后验剩余寿命期望值。即为利用Bayes方法获取的个体剩余寿命预测值。

3 参数估计方法

无论是进行总体寿命特征预测还是个体剩余寿命预测，前提是必须要获得时间参数及超参数的估计值。

3.1 估计时间参数

3.2 估计超参数

可首先估计出每个产品的逆Gaussian退化模型的参数值，然后再进一步利用每个产品对应的估计 ，然而，文献[17-18]指出此两步估计法的参数估计精度不如 EM(Expectation Maximization)算法，因此本节设计了EM算法一体化估计出。

M-step：将式(17)中的各隐含数据项利用对应的期望值代替后，得到：

式(26)中，ψ-1(⋅)为逆digamma函数。

第L+1次迭代：

4 案例应用

对某型 MEMS加速度计的零位电压输出值进行了定期测量，发现此款产品的零位电压输出值在长期贮存过程中有逐渐增大的趋势，将t时刻零位电压测量值相当于初始时刻测量值的百分比增量

表1 MEMS加速度计零位电压的百分比增量Tab.1 The percentage increments of zero voltage of MEMS accelerometers

4.1 总体寿命特征预测

首先利用假设检验方法对每个样品的性能退化是否为逆Gaussian过程进行验证。假定每个样品的性能退化为逆 Gaussian过程，并估计出每个样品对应的退化模型参数值，如表2所示。根据文献[5,17]，如果 服从自由度为1的分布，则样品性能退化服从逆Gaussian过程。设显著性水平为0.05，采用Anderson-Darling方法判断是否接受零假设，验证出所有样品的性能退化都服从逆Gaussian过程。

表2 逆Gaussian退化模型参数估计值Tab.2 Parameter estimates of inverse Gaussian model

利用式(16)对所有样品的性能退化数据进行一体化参数估计，获得极大似然估计值为。设超参数的初始值为，结束条件为10-5，利用 EM 算法经过10751次迭代获得超参数估计值为(138.230,0.008, 3.537, 0.056)，迭代收敛过程如图2所示。

确定 MEMS加速度计基于随机参数逆 Gaussian过程的CDF为

从而得到累积失效概率变化曲线如图3所示，根据图中曲线可知产品在最初40 000 h前的失效风险几乎为0，而50 000 h后失效风险明显增加。

图2 超参数估计值的迭代收敛过程Fig.2 Iteration convergence process of hype-parameter estimates

图3 MEMS加速度计累积失效概率曲线Fig.3 Accumulative failure curves of MEMS accelerometer

表3 总体寿命特征预测值及其置信区间Tab.3 The predictions and confidence intervals of the population life

4.2 个体剩余寿命预测

对样品9的零位电压进行了6次测量，各次测量时间及计算出的零位电压百分比增量如表4所示。将表4中的数据作为现场信息，表1中的数据作为先验信息，利用Bayes信息融合理论对样品9的剩余寿命进行预测。

表4 样品9的零位电压百分比增量Tab.4 The percentage increments of zero voltage of sample 9

表5 超参数的后验估计值Tab.5 The posteriori estimates of hyper-parameters

图4 超参数后验估计值的更新过程Fig.4 The updating process of hyper-parameters’posteriori estimates

如表6及图5所示，得出如下主要结论：

表6 剩余寿命预测值Tab.6 The residual life predictions

1）在对个体性能退化测量较少的情况下，传统方法无法预测出剩余寿命值，而本文所提方法克服了此缺陷；

2）传统方法获得的寿命预测值波动幅度较大，显示出预测结果具有较大的不确定性，而本文所提方法由于融合了充分的先验信息，有效降低了预测结果的不确定性；

3）由于本文方法采用了随机参数的共轭先验分布，每获取新的性能退化数据后可立即更新超参数的后验估计值，能够实现个体剩余寿命的实时预测。

图5 个体剩余寿命估计情况Fig.5 Evaluation of the individual residual life

5 结 论

为了高效预测MEMS加速度计的总体寿命特征与个体剩余寿命，提出了基于逆Gaussian退化模型的一体化寿命预测方法。主要结论如下：

1）MEMS加速度计零位电压具有较为明显的趋势，以此作为性能退化指标毋须产品失效即可预测出产品的失效信息，进而实现产品的寿命预测，具有较好的工程应用价值。

2）逆 Gaussian随机过程具有良好的统计特性，利用随机参数的共轭先验分布函数可描述个体退化间的差异性，EM 算法提供了一种估计共轭先验分布函数超参数值的有效手段。

3）融合先验信息和现场信息预测个体剩余寿命在现场退化数据有限的情况下是非常必要的，能够克服仅利用现场退化数据预测的剩余寿命不确定性较大的缺陷。

4）本文基于逆Gaussian退化模型将总体寿命预测方法与个体剩余寿命预测方法结合到一起，为产品寿命的融合预测提供了有益参考和借鉴。

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