关于Lyapunov方法教学的几点反思

丁建

摘 要： Lyapunov方法是定性研究微分方程的重要方法，在非线性系统、自动控制等领域有广泛应用。但在教学过程中还存在对该方法重视程度不够、历史背景介绍不详尽、方法应用介绍不全面等问题。本文拟对这些问题作深入分析，以引起相关教育工作者的反思。

关键词： Lyapunov方法;Lyapunov函数;Lyapunov方法的应用

Lyapunov方法是研究方程解的稳定性的重要方法，是《常微分方程》课程的重要内容。

Lyapunov方法分为第一方法和第二方法。第一方法利用微分方程的级数解研究解的稳定性，自提出后就没有大的突破和发展;第二方法也称作直接法，其通过构造合适的Lyapunov函数，计算其沿微分方程解随时间的导数的正负以判断方程零解的稳定性。由于第二方法不需求解方程即可判断系统稳定性，这对研究系统的稳定性尤其是非线性系统的稳定性带来了很大的方便，已经成为研究稳定性问题的主流方法。Lyapunov函数是Lyapunov第二方法的核心与灵魂，解决稳定性问题的过程就是寻找合适的Lyapunov函数的过程。针对不同的问题，需要构造不同的Lyapunov函数。当前，还未发现普遍适用的Lyapunov函数构造方法。作者在《常微分方程》课程的教学和调研过程中发现在Lyapunov方法的教学过程中还存在一些突出问题，值得深入反思和进一步改进。

一、 许多院校或主讲教师对于Lyapunov方法重要性的认识不够深刻，没有引起学生对该方法的足够重视

作为《常微分方程》理论部分的重要内容，Lyapunov方法是定性研究方程解的最重要、最有效的方法。深刻掌握该部分内容，对促进学生从直接求解方程到定性研究方程的思维发展具有重要作用。另外，近些年Lyapunov方法在生态系统、复杂网络、非线性系统、自动控制等領域得到了越来越广泛的应用，其应用价值和应用潜力正逐渐显现，因此，Lyapunov方法的重要性不言而喻。然而，长期以来，限于课时或囿于狭隘的应试教育思维，一些院校的师生对于Lyapunov方法的教与学没有给予足够的重视。许多主讲教师仅对Lyapunov方法作简单的介绍，然后对应稳定性定理举几个方程照猫画虎的验证一番即告完事，对于Lyapunov函数的定义和稳定性定理的讲解不够透彻，有些院校甚至干脆略掉该部分内容。这样一来，这些院校进入研究生阶段的学生用到Lyapunov方法时还要重新学习，费时费力，且效果往往不如本科阶段对课程的系统学习好，对后续发展造成了不利影响。

二、 对于Lyapunov方法提出的历史背景和发展过程不予介绍或介绍的不够详细，错过了对学生进行数学文化教育的绝好机会对学生进行数学史、数学文化教育是激发学生数学学习兴趣、形成正确的数学价值观和科研观的重要方法。“数学文化史的研究表明，如果数学作为一种文化的子系统处于整个民族文化系统中有主动影响的层面（如宗教、哲学层面），就会对整个文化系统发生重大的影响”。

Lyapunov方法是由俄国数学家李雅普诺夫于1892年在其博士论文《运动稳定性的一般问题》中提出的，并首次给出了运动稳定性的严格定义。中科院秦元勋教授于20世纪50年代将李雅普诺夫的博士论文编译成中文引入国内。Lyapunov方法后经李雅普诺夫的学生切塔耶夫，Barabashin，Krasovskii，尤其是苏联数学家Malkin以及美国数学大师Lasalle的改进和推广，形成了比较完善的稳定性理论体系。

Lyapunov函数是Lyapunov方法的核心，其受能量函数和Poincare地形系思想的启发，抽象、推广而来。Lyapunov函数的构造没有普适方法，依赖于科研人员的经验和技巧，廖晓昕教授在文[4]和[5]中介绍了几种利用试探、凑合构造Lyapunov函数的原则性方法。

三、 对于Lyapunov方法在当代科学研究中的应用介绍的不够全面

Lyapunov方法正是由于其在控制等领域的广泛应用才迸发出蓬勃生机，因此，要深入掌握Lyapunov方法不应该不对其应用作全面详细的了解。有些领域的Lyapunov方法应用牵涉到较深的专业背景和应用技巧，这就需要主讲教师对问题进行再加工，化繁为简，将不同领域的专业问题转化为学生可以理解的数学模型。尽可能地展现Lyapunov方法广阔的应用空间和巨大的应用前景对于提高学生数学学习兴趣、培养远大的科研理想有重要的引导作用。

依据笔者《常微分方程》多年的教学经验，可向学生提供Lyapunov方法在传染病模型、生态系统稳定性以及非线性系统稳定性研究方面的应用，限于篇幅，在此不展开论述。

综上所述，在教学过程中，教师需要提升学生对Lyapunov方法重要性的认识，注重对学生数学历史和数学文化的教育，向学生展示Lyapunov方法的广阔应用空间，这不仅仅是单纯的传授知识，更是培养学生数学学习兴趣、数学素养以及数学理想的大好机会，应引起广大主讲教师的高度重视。

参考文献：

[1]王宪昌.数学文化在数学教育中的地位[J].数学通报，2006（6），25-27.

[2]Malkin N G. Theory of stability of motion[M]. Moscow：Nauka，1966（in Russian）.

[3]LaSalle J P. The stability of dynamical systems[M]. Ser. Regional Conference Series in Applied Mathematics. Society for Industrial and Applied Mathematics，1976.

[4]廖晓昕.稳定性的数学理论和应用[M].武汉：华中师范大学出版社，2001.

[5]廖晓昕.漫谈Lyapunov稳定性的理论、方法和应用[J].南京信息工程大学学报：自然科学版，2009，1（1）：1-15.