解析法在解题中的应用

苏婷

摘 要：在数学中，我们经常会遇到各种各样的问题，而解析法，作为数学中的一种研究方法，可以将数学问题转变成为相应的代数问题，再把代数问题归结到方程式中的求解，使问题变得简单化。本文在概述了解析法含义的基础上，通过实例分析了解析法在解题中的应用，以加强对解析法的运用。

关键词：解析法；几何问题；应用

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2017）05-054-02

一、解析法

解析法就是用代数的方法来解决数学中的问题。具体来说，就是利用坐标系，建立一个平面（空间）直角坐标系，用坐标代表点，将所求问题转化成向量的坐标运算即可，也就是运用“数学问题代数化，代数问题坐标化”这一思想进行解题。

二、解析法在解题中的应用

解析法的思想是非常明确的，就是将数学问题转化成代数问题来进行求解。因此，解析法在向量、解三角形、不等式和平面几何等中都有很广泛的应用。

（1）解析法在向量中的应用

在数学中，向量指的是具有大小和方向的量，可以用带箭头的线段来形象的表示。其中箭头所指的是向量的方向；线段的长度是向量的大小。

例1：两个长度为1的平面向量 和 ，两个的夹角是120°，而点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，假设 =x +y ，求x+y的最大值。

首先是分析这个问题出现在单位圆中，利用坐标和圆的参数方程就可以解决问题。所以，解析法是最容易想到的一个方法。其次，建立一个坐标系，如图1所示，那么A（1，0），B（- ， ），设C（m，n），由题设条件 =x +y 得知

（m，n）=x（1，0）+y（- ， ），从而得出m=x- ，n= y，又有m2+n2=1，所以

（x- ）2+（ y）2=1。再由參数方程x- =cos ， y=sin ，其中0≤ ≤ π，所以x= sin +cos ，y= sin ，

因此，x+y= sin +cos + sin = sin +cos =2sin（ + ），

最后，所以当 = 时，x+y取得最大值，最大值是2。

（2）解析法在解三角形中的应用

在解三角形的运算中，如果利用解析法就能将三角形的运算代数化，数与形相结合，大大提高解答三角形运算的效率。

例2：如图2所示，△ABC是等腰直角三角形，其中AC=BC=1，点M、N分别是AB和BC的中点，点P是△ABC（包括边界）内的任意一点，求 × 的取值范围。

首先，以BC为x轴，以CA为y轴建立一个直角坐标系，我们可以得到C（0，0），A（0，1），B（1，0），那么M（ ， ），N（ ，0），设P（x，y），所以 × = x-y+ 。利用线性规划的知识知道，当P位于A（0，1）时， × 取得最小值- ；当P位于B（1，0）时， × 取得最大值 ，所以 × 的取值范围是[- ， ]。

（3）解析法在不等式中的应用

不等式的证明问题是数学的重难点内容。证明不等式有很多方法，比如反证法、换元法和分析法等。利用解析法解决不等式的证明问题也是其中的一个证明方法。

例3：a、b R+，且a+b=1，求证（a+ ）2+（b+ ）2≥ 。

通过题设条件我们可以将 看作是点A（a，b）与点B（- ，- ）之间的距离。而a+b=1可以看作是点A（a，b）在直线l：x+y=1上的点，而且点B（- ，- ）到直线l的距离是l- - -1l/ ，如图3所示，因为点B到点A的距离不小于它到直线l的距离，所以 ≥l- - -1l/ = ≥ = （由a、b R+，且a+b=1得出0

（一）解析法在平面几何中的应用

平面几何的一个显著特点是定义和定理很多，而平面几何中的很多问题都需要从其中的公理、定理出发，再通过推理来证明答案。而利用解析法证明平面几何中的一些问题是比较容易的，尤其是建立一个直观的坐标系，更能帮助我们更好地解决问题。

1.证明线段相等

例4：已知CEDF是已知圆的一个内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线交于A，与CF的延长线交于B，求证 = 。因为CEDF是已知圆的一个内接矩形，所以以CE所在直线为x轴，以CF所在直线为y轴建立一个直角坐标系。设A（a，0），B（0，b），C（0，0），如图4所示，那么直线AB的斜率KAB是- ，因此AB切圆于D，CD是圆的直径，所以得到CD AB，那么直线CD的斜率KCD是1/KAB= ，所以CD的方程式y= x，那么AB的方程是 + =1，由这两个方程我们可以得到x= ，y= ，那么D（ ， ），于是lBFl=lBCl-lCFl=b- = ，所以 = = = ，因此， = 。

2.证明线共点

例5：证明三角形的三条高线交于一点。

以三角形的一个顶点为原点，其中一边为x轴建立直角坐标系，设A（0，0），B（a，0），C（b，c）如图5所示，则三角形三条边所在的直线方程是：

AB：y=0，AC：cx-by=0，BC：cx+（a-b）y-ac=0，又因为三角形的三条高分别与其三条边垂直，根据两条直线相互垂直的关系可以得到三条高线所在的直线方程是：

CF：x-b=0，BE：bx+cy-ab=0，AD：（b-a）x+cy=0，这个时候我们可以得到三条直线方程的系数行列式， ，再根据三线共点的充分必要条件可以知道：三角形的三条高线交于一点。由此，我们可以看出利用解析法解决平面几何问题，要分为以下几个步骤：一是根据题设条件，作出图形；二是根据图形建立相应适合的直角坐标系；三是选定坐标系后确定图形中已知点的坐标；四是熟练掌握并应用平面直角坐标系中的有关公式和方程，比如两点间的直线距离、直线方程的几种形式和斜率公式等，这样就会使问题简单化。

解析法就是利用坐标系写出几何关系的表达式，之后进行计算，最后求出答案的过程。灵活运用解析法解决向量、三角形、不等式和平面几何等问题，有助于我们打开思路，做到以简驳繁，最终达到迅速解题的目的。

参考文献

[1] 吴学超、张华、洪涛清，解析高考数学解题中的解析法[J]，丽水学院学报2009 ， 31 （5） ：78-82

[2] 尹苏妍，活用“解析法”，探究解三角形问题[J]，高中数理化2015 （21）：21