解析法在解题中的应用

2018-01-24 19:44苏婷
读写算·教研版 2017年5期
关键词:应用

苏婷

摘 要:在数学中,我们经常会遇到各种各样的问题,而解析法,作为数学中的一种研究方法,可以将数学问题转变成为相应的代数问题,再把代数问题归结到方程式中的求解,使问题变得简单化。本文在概述了解析法含义的基础上,通过实例分析了解析法在解题中的应用,以加强对解析法的运用。

关键词:解析法;几何问题;应用

中图分类号:G632 文献标识码:B 文章编号:1002-7661(2017)05-054-02

一、解析法

解析法就是用代数的方法来解决数学中的问题。具体来说,就是利用坐标系,建立一个平面(空间)直角坐标系,用坐标代表点,将所求问题转化成向量的坐标运算即可,也就是运用“数学问题代数化,代数问题坐标化”这一思想进行解题。

二、解析法在解题中的应用

解析法的思想是非常明确的,就是将数学问题转化成代数问题来进行求解。因此,解析法在向量、解三角形、不等式和平面几何等中都有很广泛的应用。

(1)解析法在向量中的应用

在数学中,向量指的是具有大小和方向的量,可以用带箭头的线段来形象的表示。其中箭头所指的是向量的方向;线段的长度是向量的大小。

例1:两个长度为1的平面向量 和 ,两个的夹角是120°,而点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,假设 =x +y ,求x+y的最大值。

首先是分析这个问题出现在单位圆中,利用坐标和圆的参数方程就可以解决问题。所以,解析法是最容易想到的一个方法。其次,建立一个坐标系,如图1所示,那么A(1,0),B(- , ),设C(m,n),由题设条件 =x +y 得知

(m,n)=x(1,0)+y(- , ),从而得出m=x- ,n= y,又有m2+n2=1,所以

(x- )2+( y)2=1。再由參数方程x- =cos , y=sin ,其中0≤ ≤ π,所以x= sin +cos ,y= sin ,

因此,x+y= sin +cos + sin = sin +cos =2sin( + ),

最后,所以当 = 时,x+y取得最大值,最大值是2。

(2)解析法在解三角形中的应用

在解三角形的运算中,如果利用解析法就能将三角形的运算代数化,数与形相结合,大大提高解答三角形运算的效率。

例2:如图2所示,△ABC是等腰直角三角形,其中AC=BC=1,点M、N分别是AB和BC的中点,点P是△ABC(包括边界)内的任意一点,求 × 的取值范围。

首先,以BC为x轴,以CA为y轴建立一个直角坐标系,我们可以得到C(0,0),A(0,1),B(1,0),那么M( , ),N( ,0),设P(x,y),所以 × = x-y+ 。利用线性规划的知识知道,当P位于A(0,1)时, × 取得最小值- ;当P位于B(1,0)时, × 取得最大值 ,所以 × 的取值范围是[- , ]。

(3)解析法在不等式中的应用

不等式的证明问题是数学的重难点内容。证明不等式有很多方法,比如反证法、换元法和分析法等。利用解析法解决不等式的证明问题也是其中的一个证明方法。

例3:a、b R+,且a+b=1,求证(a+ )2+(b+ )2≥ 。

通过题设条件我们可以将 看作是点A(a,b)与点B(- ,- )之间的距离。而a+b=1可以看作是点A(a,b)在直线l:x+y=1上的点,而且点B(- ,- )到直线l的距离是l- - -1l/ ,如图3所示,因为点B到点A的距离不小于它到直线l的距离,所以 ≥l- - -1l/ = ≥ = (由a、b R+,且a+b=1得出0

(一)解析法在平面几何中的应用

平面几何的一个显著特点是定义和定理很多,而平面几何中的很多问题都需要从其中的公理、定理出发,再通过推理来证明答案。而利用解析法证明平面几何中的一些问题是比较容易的,尤其是建立一个直观的坐标系,更能帮助我们更好地解决问题。

1.证明线段相等

例4:已知CEDF是已知圆的一个内接矩形,过D作该圆的切线与CE的延长线交于A,与CF的延长线交于B,求证 = 。因为CEDF是已知圆的一个内接矩形,所以以CE所在直线为x轴,以CF所在直线为y轴建立一个直角坐标系。设A(a,0),B(0,b),C(0,0),如图4所示,那么直线AB的斜率KAB是- ,因此AB切圆于D,CD是圆的直径,所以得到CD AB,那么直线CD的斜率KCD是1/KAB= ,所以CD的方程式y= x,那么AB的方程是 + =1,由这两个方程我们可以得到x= ,y= ,那么D( , ),于是lBFl=lBCl-lCFl=b- = ,所以 = = = ,因此, = 。

2.证明线共点

例5:证明三角形的三条高线交于一点。

以三角形的一个顶点为原点,其中一边为x轴建立直角坐标系,设A(0,0),B(a,0),C(b,c)如图5所示,则三角形三条边所在的直线方程是:

AB:y=0,AC:cx-by=0,BC:cx+(a-b)y-ac=0,又因为三角形的三条高分别与其三条边垂直,根据两条直线相互垂直的关系可以得到三条高线所在的直线方程是:

CF:x-b=0,BE:bx+cy-ab=0,AD:(b-a)x+cy=0,这个时候我们可以得到三条直线方程的系数行列式, ,再根据三线共点的充分必要条件可以知道:三角形的三条高线交于一点。由此,我们可以看出利用解析法解决平面几何问题,要分为以下几个步骤:一是根据题设条件,作出图形;二是根据图形建立相应适合的直角坐标系;三是选定坐标系后确定图形中已知点的坐标;四是熟练掌握并应用平面直角坐标系中的有关公式和方程,比如两点间的直线距离、直线方程的几种形式和斜率公式等,这样就会使问题简单化。

解析法就是利用坐标系写出几何关系的表达式,之后进行计算,最后求出答案的过程。灵活运用解析法解决向量、三角形、不等式和平面几何等问题,有助于我们打开思路,做到以简驳繁,最终达到迅速解题的目的。

参考文献

[1] 吴学超、张华、洪涛清,解析高考数学解题中的解析法[J],丽水学院学报2009 , 31 (5) :78-82

[2] 尹苏妍,活用“解析法”,探究解三角形问题[J],高中数理化2015 (21):21

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