弹性抗滑桩桩底支承条件对其内力和位移的影响分析

焦世杰，苏爱军，何 啸

(中国地质大学(武汉)教育部长江三峡库区地质灾害研究中心，湖北 武汉 430074)

抗滑桩作为一种横向受荷桩，由于具有抗滑能力强、桩位布设灵活、施工方便、适用于滑面较深的大型滑坡等多方面的突出优点，已被广泛应用于滑坡地质灾害的治理工程实践中[1-3]。而抗滑桩设计中，桩身内力计算是决定设计成败的关键因素。目前，抗滑桩内力计算的方法有很多，如悬臂桩法、地基系数法、双参数法[4]，p-y曲线法、有限单元法[5]等。其中，悬臂桩法由于出现时间早且计算简单，目前在实际工作中应用最多。该方法根据对嵌固段地基系数假定的不同，又分为“K”法、“m”法和“C”法。本文主要对工程中应用较多的“K”法进行讨论。

对抗滑桩进行内力计算时，嵌固段桩底支承条件可分为自由支承、铰支承和固定支承。而抗滑桩工程设计中，设计人员一般都是根据经验选取抗滑桩桩底支承条件，但桩底支承条件选取不同，则抗滑桩嵌固段桩身内力和位移也不同。若桩底支承条件选取不当，则会造成计算出的抗滑桩桩身内力和位移与实际相差很大，最终导致抗滑桩配筋过多，增加工程投资。抗滑桩桩底支承条件取决于抗滑桩嵌固段长度以及嵌固段岩体的地基系数，而嵌固段岩体的地基系数又与嵌固段岩体力学性质、风化破碎程度和地下水[6-7]等因素有关，因此分析抗滑桩在各种因素下桩底不同支承条件对抗滑桩桩身内力和位移的影响具有重要意义。但限于篇幅，本文针对工程实际中的常见情况，只讨论嵌固段岩体微风化、嵌固段长度为桩全长的1/3这类情况，并结合具体的工程实例，探讨桩底不同支承条件和地基系数情况下，抗滑桩桩身内力和位移的变化规律。

1 抗滑桩受荷段桩身内力和位移的计算

抗滑桩受荷段桩后滑坡推力和桩前岩土体抗力的分布形式与滑坡的类型、部位和地层性质等因素有关，可分为矩形、梯形和三角形分布[8-11]。本文在计算抗滑桩桩身内力时，建立了两个独立的坐标系：计算受荷段的内力时，其坐标系以桩顶(O点)为原点，沿桩中心竖直向下为y轴；计算嵌固段的内力时，其坐标系以嵌固段顶面(A点)为原点，沿桩中心竖直向下为y轴。如图1所示，其中O点表示桩身顶部位置，A点表示桩身在滑面的位置，B点表示桩身底部位置。本文假定抗滑桩受荷段桩后滑坡推力分布形式为矩形，桩前岩土体抗力分布形式为三角形，受荷段的内力依据悬臂梁理论[12-13]进行计算，则抗滑桩桩身变形的微分方程可表示为

图1 抗滑桩受力分析图Fig.1 Diagram of stress analysis of the anti-slide pile

d2xdy2=-M(y)EI

(1)

式中：M(y)为抗滑桩桩身任意点处的弯矩(kN·m)；EI为抗滑桩桩身抗弯刚度(kN·m)。

抗滑桩受荷段桩身内力和位移的计算如下所述：

(1) 当桩前岩土体可能滑走时(无剩余抗滑力)，则有:

Qy=qy

My=12qy2

(2)

式中：Qy、My、φy、xy分别为抗滑桩桩身任一截面处的剪力(kN)、弯矩(kN·m)、转角(rad)和位移(m)；h1为抗滑桩受荷段长度(m)；q为抗滑桩受荷段桩后滑坡推力的均布荷载值(kN/m)；φA为抗滑桩在滑面处(A点)的转角(rad)；xA为抗滑桩在滑面处(A点)的位移(m)；其他符号意义同前。

(2) 当桩前岩土体基本稳定时(有剩余抗滑力)，则有

Qy=qy-q1(y-h3)22(h1-h3)

My=12qy2-q1(y-h3)36(h1-h3)

[(y-h3)4-(h1-h3)4]

q1120EI(h1-h3)[(y-h3)5-5y(h1-h3)4+

(h1-h3)4(4h1+h3)]

(3)

式中：h3为桩前岩土体顶面距抗滑桩顶面的距离(m)；q1为抗滑桩受荷段桩前岩土体抗力底部荷载值(kN/m)；其他符号意义同前。

2 抗滑桩嵌固段桩身内力和位移的计算

对于弹性抗滑桩，桩顶受水平荷载的挠曲微分方程可表示为[12]：

EId4xdy4+KBpx=0

(4)

式中：K为抗滑桩嵌固段岩体的地基系数(kN/m3)；Bp为抗滑桩正面计算宽度(m)；其他符号意义同前。

由于抗滑桩变形系数β=4KBp4EI，则公式(4)可写成：

d4xdy4+4β4x=0

(5)

公式(5)为4阶齐次常系数线性微分方程，其中β为区分刚性桩和弹性桩的变形系数。通过数学求解可得到抗滑桩嵌固段任一截面处的桩身内力和位移，即

Qy=β3EI(QAβ3EIa1-4xAa2-4φAβa3-4MAβ2EIa4)

My=β2EI(MAβ2EIa1+QAβ3EIa2-4xAa3-4φAβa4)

φy=β(φAβa1+MAβ2EIa2+QAβ3EIa3-4xAa4)

xy=xAa1+φAβa2+MAβ2EIa3+QAβ3EIa4

(6)

其中：a1=cosβychβy;

a2=12(sinβychβy+cosβyshβy);

a3=12sinβyshβy;

a4=14(sinβychβy-cosβyshβy).

式中：QA、MA、φA、xA分别为抗滑桩在滑动面处桩身的剪力(kN)、弯矩(kN·m)、转角(rad)和位移(m)；a1、a2、a3、a4的取值可参考文献[1]；其他符号意义同前。

公式(6)中φA和xA是通过抗滑桩桩底支承条件确定的。抗滑桩桩底支承条件有以下3种：

(1) 桩底为自由支承：QB=0，MB=0。

(2) 桩底为铰支承：MB=0，xB=0。

(3) 桩底为固定支承：xB=0，φB=0。

根据上述抗滑桩桩底支承条件，即可求得抗滑桩嵌固段桩身任一截面处的内力和位移。

3 工程实例应用与分析

本文以三峡库区秭归县水田坝乡谭家湾滑坡为例，利用MATLAB软件分别计算了桩底不同支承条件和地基系数情况下抗滑桩桩身内力和位移，并进行了对比分析。

该滑坡堆积体主要为碎块石土夹黏性土，基岩主要为侏罗系上统蓬莱镇组的长石石英砂岩。通过工程地质类比和反演分析法综合确定了该滑坡滑带土的抗剪强度参数[14-15]，即天然状态下滑带土黏聚力为15 kPa、内摩擦角为26°，饱和状态下滑带土黏聚力为13 kPa、内摩擦角为24°。经计算，该滑坡推力水平分量为1 196.28 kN/m3，而抗滑桩截面尺寸为1.8 m(宽)×2.5 m(高)，抗滑桩受荷段长12 m、嵌固段长6 m，桩中心距为5 m。

本文利用所编制的程序，通过改变抗滑桩嵌固段岩体的地基系数K值，计算抗滑桩在不同的桩底支承条件下桩身内力和位移。表1为抗滑桩在不同地基系数和支承条件下桩身的最大内力，图2至图10为抗滑桩在不同地基系数和支承条件下桩身内力和位移的变化情况，图11至图13为地基系数K值为140 MN/m3时抗滑桩在不同支承条件下桩身内力和位移的变化情况。

表1 抗滑桩在不同地基系数和支承条件下桩身的 最大内力

图2 抗滑桩在不同地基系数下的弯矩图(自由支承)Fig.2 Bending moment diagram under different foundation coefficients (free bearing)

图3 抗滑桩在不同地基系数下的剪力图(自由支承)Fig.3 Shear diagram under different foundation coefficients (free bearing )

图4 抗滑桩在不同地基系数下的位移图(自由支承) Fig.4 Displacement diagram under different foundation coefficients (free bearing)

图5 抗滑桩在不同地基系数下的弯矩图(铰支承)Fig.5 Bending moment diagram under different foundation coefficients (hinged bearing)

由图2至图4可见，对于桩底约束为自由支承的抗滑桩，当抗滑桩嵌固段长度一定时，地基系数K值的变化对抗滑桩嵌固段桩身弯矩M和剪力Q的影响很小，即随着K值的增加，抗滑桩嵌固段桩身弯矩逐渐减小，K值每增加20 MN/m3，随着深度的增加，其弯矩减小的百分比越大，最大为0.5%，而抗滑桩嵌固段桩身剪力先增大后减小，在靠近滑面的位置剪力变化的百分比最大，为3.81%；地基系数K值的变化对抗滑桩桩身位移的影响较大，即随着K值的增加，抗滑桩嵌固段桩身位移逐渐减小，且其减小速率逐渐减慢，K值每增加20 MN/m3，随着深度的增加，抗滑桩嵌固段桩身位移减小的百分比普遍大于受荷段，最大为19.14%。

图6 抗滑桩在不同地基系数下的剪力图(铰支承)Fig.6 Shear diagram under different foundation coefficients (hinged bearing)

图7 抗滑桩在不同地基系数下的位移图(铰支承)Fig.7 Displacement diagram under different foundation coefficients (hinged bearing)

由图5至图7可见，对于桩底约束为铰支承的抗滑桩，当抗滑桩嵌固段长度一定时，地基系数K值的变化对抗滑桩嵌固段桩身弯矩M和剪力Q的影响也很小，但比桩底约束为自由支承的抗滑桩的影响要大，即随着K值的增加，抗滑桩嵌固段桩身弯矩逐渐减小，K值每增加20 MN/m3，随着深度的增加，其弯矩减小的百分比越大，最大为0.73%，而抗滑桩嵌固段桩身的剪力先增大后减小，在滑面以下约1 m的位置变化百分比最大，为14.73%;地基系数K值的变化对抗滑桩桩身位移的影响较大，即随着K值的增加，抗滑桩嵌固段桩身位移逐渐减小，且其减小速率逐渐减慢，K值每增加20 MN/m3，随着深度的增加，其位移减小的百分比越大，抗滑桩嵌固段桩身位移减小的百分比大于受荷段，且在桩底附近达到最大，为19.41%。

图8 抗滑桩在不同地基系数下的弯矩图(固定支承)Fig.8 Bending moment diagram under different foundation coefficients (fixed bearing)

图9 抗滑桩在不同地基系数下的剪力图(固定支承)Fig.9 Shear diagram under different foundation coefficients (fixed bearing)

图10 抗滑桩在不同地基系数下的位移图(固定支承)Fig.10 Displacement diagram under different foundation coefficients (fixed bearing)

由图8至图10可见，对于桩底约束为固定支承的抗滑桩，当抗滑桩嵌固段长度一定时，地基系数K值的变化对抗滑桩嵌固段桩身弯矩M和剪力Q的影响较大，即随着K值的增加，抗滑桩嵌固段桩身弯矩逐渐减小，K值每增加20 MN/m3，随着深度的增加，其弯矩减小的百分比越大，最大为8.59%，而抗滑桩嵌固段桩身剪力也逐渐增大，且其增大速率逐渐减慢；地基系数K值的变化对抗滑桩桩身位移的影响较小，即随着K值的增加，抗滑桩嵌固段桩身位移逐渐减小，且其减小速率逐渐减慢，K值每增加20 MN/m3，随着深度的增加，其位移减小的百分比越大，最大为9.52%。

图11 抗滑桩在不同桩底支承条件下的弯矩图 (K=140 MN/m3)Fig.11 Bending moment diagram under different bearing conditions (K=140 MN/m3)

图12 抗滑桩在不同桩底支承条件下的剪力图 (K=140 MN/m3)Fig.12 Shear diagram under different bearing conditions (K=140 MN/m3)

图13 抗滑桩在不同桩底支承条件下的位移图 (K=140 MN/m3)Fig.13 Displacement diagram under different bearing conditions (K=140 MN/m3)

由图11至图13可见，在3种支承条件下，抗滑桩受荷段桩身弯矩和剪力并无差别，但桩身位移差别较大，桩底约束为自由支承的抗滑桩桩身位移最大，铰支承次之，桩底约束为固定支承的抗滑桩桩身位移最小；在抗滑桩嵌固段，随着深度的增加，岩土锚固作用增强，不同桩底支承条件对抗滑桩桩身内力的影响逐渐明显，桩底约束为固定支承的抗滑桩桩身弯矩最大、剪力最小，桩底约束为自由支承的抗滑桩桩身弯矩最小、位移最大。

综上所述，通过对抗滑桩桩身内力和位移计算结果的分析可知，桩底支承条件形式不同，则得到的计算结果也不同。其中，固定支承计算得到的抗滑桩桩身弯矩最大，配筋设计时抗滑桩所需要的抗弯纵筋最多，而自由支承计算得到的抗滑桩桩身剪力最大，配筋设计时抗滑桩所需要的抗剪箍筋最多，这两种支承形式所需要的钢筋最多，会造成材料的浪费，增加工程投资；铰支承计算得到的抗滑桩桩身内力和位移更接近实测值，配筋也较合理，也不会造成材料的浪费，因此桩底支承条件按铰支承来进行抗滑桩设计更为合理。

4 结论与建议

(1) 本文采用传统的抗滑桩内力计算方法“K”法推导了弹性抗滑桩受荷段和嵌固段桩身内力计算的理论公式，并在抗滑桩嵌固段桩身内力计算时考虑了桩底不同的支承条件。

(2) 当抗滑桩嵌固段长度一定时，嵌固段地基系数K值的变化对桩底约束为固定支承的抗滑桩桩身内力的影响最大，对桩底约束为自由支承和铰支承的抗滑桩桩身内力的影响很小，因此在抗滑桩工程设计中应尽量避免抗滑桩桩底约束为固定支承的这种情况。

(3) 对于桩底约束为自由支承的抗滑桩，地基系数K值的变化对其桩身位移的影响最大，铰支承次之，对桩底约束为固定支承的抗滑桩桩身位移的影响最小，因此对于桩身变形要求比较高的工程，对于地基系数K值的取值应更为精确，且应尽量选择桩底约束为铰支承的情况。

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