例谈《圆的周长》教学研磨

李织兰+刘丹

【摘要】本文结合《圆的周长》一课的教学片段论述教师在教学过程中可能出现没有注意培养学生的“四能”、使用教材时脱离“四基”等问题，论述教师可通过运用类比教学方法、提出问题并解决问题、亲手实验探索并归纳规律开展教学，从而提高学生的推理能力，让学生感受到生活中的变与不变，感悟数学中的守恒美。

【关键词】小学数学 《圆的周长》 磨课 变与不变

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）12A-0082-03

最近我们有幸在“桂林市农村小学全科教师专业发展论坛”教研活动中展示人教版《圆的周长》一课。磨课阶段，“推导圆的周长公式”这一教学片段试教的效果与之前的预设有相当一段距离，我们仔细推敲后发现教师有很多细节没有处理好。于是，我们认真解读课标，深入钻研教材，提炼思想方法，渗透数学文化，对一些细节进行改善，“一课多磨”，展示课终取得了良好的教学效果，获得参加论坛的专家和教师的好评。作为执教老师的指导教师，笔者现将磨课过程整理如下。

我们进行的磨课的过程如下所示：

[原行为阶段]

师：我们已经知道正方形的周长与它的边长有关，正方形的周长是边长的4倍，圆的周长是否也与圆内某线段长有关系呢？

（教师用多媒体演示：以三条不同长度的线段为直径，分别画出三个大小不同的圆。然后把这三个圆同时滚动一周，得到了三条线段的长分别就是三个圆的周长）

师：同学们看，圆的直径越短，圆的周长也就？（生：越短）圆的直径越长，圆的周长也就？（生：越长）这就说明圆的周长肯定与圆的什么有关系？

生：圆的周长与直径有关系。（屏幕显示这句话）

师：圆的周长与直径到底有什么关系呢？这个问题要同学们自己去發现。现在请同桌分工合作，测量一个圆片的直径和周长并计算出这个圆片的周长除以直径所得的商，得数保留两位小数，把数据填写在相应的表格中。

（学生测量、计算、填表）

师：请每一个小组依次派一位同学汇报你们的数据。（生报数、师填表）

师：观察大家汇报的数据，同学们发现了什么吗？

生：每个圆的周长是它的直径的3倍多一些。

师：这就说明圆的周长除以直径的商肯定是有规律的。在我们所测量的这些圆中，每一个圆的周长都是它直径的3倍多一些。再看屏幕上这三个圆的周长与直径的关系怎样呢？（教师用多媒体演示：用每个圆的周长分别除以它们的直径，引导学生观察，发现每个圆的周长分别是它直径的3倍多一些。）

师：同学们，由于测量误差的原因，计算不同的圆的周长与直径的比值可能不完全相同，但实际上，这个比值是一个固定不变的数，通常我们称之为“圆周率”，用希腊字母“π”来表示，π是一个无限不循环小数，为了计算方便，一般我们只取它的近似值，π≈3.14。（板书：圆周率，π≈3.14）

师：刚才我们已经知道了圆的周长始终是直径的π倍，如果已知直径，怎样求圆的周长呢？

生：圆的周长=直径×圆周率。（板书：圆的周长=直径×圆周率）

师：你能用字母表示圆的周长计算公式吗？

生：C=πd。（板书公式：C=πd）

师：如果已知半径呢？

生：C=2πr。（板书公式：C=2πr）

师：为什么呢？

生：因为同一圆的直径是它半径的2倍。

[反思与诊断]

这节课教师利用了学生已有的关于圆的某些特性的经验，设计“猜想—验证”环节，让学生动手动脑、计算思考，从而验证结论，发挥了学生的主体性。学生通过学习这部分内容，掌握了测量圆的周长、直径的方法，学会计算圆的周长等基础知识。

我们课后访谈发现，学生对圆周率的认识太肤浅、不深刻，反映出教师的教学有以下一些不足：

（一）没有从培养“四能”来设计教学活动。这个教学片段中，教师让学生通过测量周长及直径长度来验证圆的周长与直径的关系，学生只是在“命令—操作”中学习圆周率，在老师的要求下充当了一回“操作工”。学生并不理解为什么要研究“圆的周长与直径的比值是一个固定不变的数”，研究它有什么用处……这只是教师布置给学生的“任务”，即课堂带给学生的感受是“要我做”。爱因斯坦曾经说过：“发现问题比解决问题更重要。”因此，培养学生发现问题和提出问题的能力，变“要我做”为“我要做”是课堂教学应该达到的目标之一。

（二）没有着眼于落实“四基”来使用教材。教师采用机械的方式呈现教材，在“猜想—验证”的环节，学生没有体会到“测算不同的圆的周长及直径长度比值”“填数据表”的意图，不明白从数据表中找到“任意圆的周长与直径的比值是固定不变的常数”的规律就是归纳法；学生没有将“不同的圆”与“变化中的圆”联系起来，更加感悟不到“不管圆千变万化，它的周长与直径的比值永远是一个固定不变的常数”中蕴含的“变化中的不变”的数学思想以及科学中的“守恒之美”。如何让学生感悟数学的基本思想与方法，积累活动经验呢？怎样进行教学才能让学生从教师的类比、归纳等方法得到数学方法的熏陶？

（三）实验结果和学生的已有经验很难解释“任意圆的周长与直径的比值是固定不变的常数”，如何帮助学生认识到“圆的周长与直径的比值是固定不变的常数”对“每一个圆、所有的圆、任意的圆”都成立呢？

（四）没有挖掘数学文化的功能，没有较好地实现无形的数学文化与有形的知识技能的完美结合。

经过议课，我们达成如下共识：

本节课需要完成的基本教学任务之一是认识圆周率是“一个固定不变的数”，理解已知圆的直径（或半径）就能计算圆的周长，从而推导圆的周长计算公式。通过对不同圆形物品的周长与直径的测量及比值的计算，发现千变万化的圆的周长与其直径的比是一个固定不变的数的规律，进而推导出圆的周长公式，在这个过程中，学生学会用实验归纳的方法探究数学规律，领悟变化中的不变就是规律，发现并欣赏到数学中“变化中的不变”带来的“守恒”之美。endprint

我们可以采用动态几何工具“几何画板”改变圆的大小和位置，让学生看到“千变万化的圆”，观察到“圆的周长与直径的比值”是不变的。

[新行为阶段]

1.类比搭桥，问题铺路

（教师用多媒体演示：在几何画板上作一个动态的正方形，测量其周长与边长，计算其周长与边长的比值，拖动正方形的各个顶点并重复上述测算）

师：什么在变？（生：正方形的大小和位置都发生了变化）什么不变？（生：正方形的周长与边长的比值没有变化，它恒等于4）无论正方形怎么变，它的周长始终是它的边长的4倍，从而得到正方形的周长公式：正方形的周长=边长×4。

（教师用多媒体演示：在几何画板上作一个动态的长方形，测量其周长、长与宽，计算其周长与长的比值，周长与宽的比值，拖动长方形的各个顶点并重复上述测算）

师：什么在变？（生：长方形的大小、长宽和位置发生了变化，长方形的周长与长的比值、长方形的周长与宽的比值也在变化）那么只知道长方形的长或宽，能计算出周长吗？（生：不能）再计算长方形的周长与长加宽的和的比值，观察得出该比值恒等于2，从而我们有公式：长方形的周长=（长+宽）×2。

师：“变化中的不变”就是规律，找到了这样的规律，就能发现公式、法则、性质；寻找不变量不仅是数学研究的任务，还是科学研究和社会研究的任务；“变化中的不变”也是守恒，守恒是一种美丽，这节课我们也要去发现和欣赏这种数学之美。

师：我们现在的任务是寻求一个计算圆的周长的方法。我们应该先研究什么问题？

生：正方形的周长总是它边长的4 倍，我们要研究圆的周长与直径是否存在这样的倍数关系，这样我们就可以根据直径计算出圆的周长，从而可以得到圆的周长计算公式。

生：我觉得千变万化的圆，圆的周长与直径的比值应该是一个不变的数。

师：我们如何来验证你的猜想呢？

[评析]

欧拉曾说：“类比是伟大的引路人。”也就是说，类比可看成一种富有启发性的科学猜想方法。在教学中，教师应有针对性、有意识地根据教学内容挖掘教材中的圆周率的概念、圆的周长公式蕴含的类比思想方法，精心策划，巧妙而深刻地类比搭桥，引导学生发现和提出数学问题，有意识地培养学生提出数学问题的能力。

数学中到处都是变与不变的矛盾统一。数学研究变化，却以找到其中的不变性作为归宿，寻求數学中无处不在的不变性质从而发现数学规律，是把握数学的关键之一。在纷繁的变化中，我们把握其中的不变量和不变性质，领略不变量和不变性的内在魅力，感受“守恒”的数学之美，显示数学智慧之光。

2.实验归纳，探索规律

师：现在请同桌分工合作，每位同学测量一个圆片物品的直径与周长，并计算出该圆片的周长除以直径所得的商，得数保留两位小数，并把数据填写在相应的表格中。

（学生测量、计算、填表）

师：请四位同学依次汇报一下你们的数据。

（生报数、师填表）

师：观察他们汇报的数据，同学们发现了什么吗？

生：他们的商都是三点一几。

师：也就是每个圆的周长大约是它直径的3倍多一些。其他小组你们每个圆的周长与直径的关系也是这样吗？四人小组相互交流一下。

（生小组交流）

师：每组选派一名代表汇报一下，你们测量的圆的周长与直径的关系怎样。

生1：我们这个小组每个圆的周长也是直径的3倍多一些。

生2：我们这个小组圆的周长与直径的关系也是这样。

……

师：凡是通过测量计算发现你的圆的周长是直径的3倍多一些的同学请举手。

（大多数学生举起了手）

师：通过对不同圆形物品的周长与直径的测量、周长与直径的比值的计算，在我们所测量的这些圆中，这些圆是不同的、变化的，但是圆的周长都是它直径的3倍多一些。

师：如果再换成其他的圆来度量或者计算的话，同学们还会发现，圆的周长还是它直径的3倍多一些。我们可以用归纳的方法来概括圆周长与直径的关系吗？

生：圆的周长也是它直径的3倍多一些。

师：同学们，由于测量误差的原因，计算不同的圆的周长与直径的比值可能不完全相同。看看屏幕上这个圆的周长与直径的关系是怎样的。

（教师用多媒体演示：在几何画板上作一个动态的圆，测量圆的直径和周长，计算其周长与直径的比值，精确到百分位，变化圆的大小和位置，引导学生观察，千变万化的圆，它的周长都是它直径的3.14倍）

师：不管是大圆还是小圆，不管圆在什么位置，每一个圆的周长和这个圆的直径的比值都是一个固定不变的数，我们通常称之为“圆周率”，用希腊字母“π”来表示，“π”是一个无限不循环小数，为了计算方便，一般我们只取它的近似值，π≈3.14。（板书：圆周率，π≈3.14）

师：2 400多年前，我国著名思想家墨子写了这么一句话：大圆之圆与小圆之圆同。通过今天的学习，你对圆又有了哪些新的认识？现在再来看“大圆之圆与小圆之圆同”这句话，这个“同”字还指什么相同？

生：不管是大圆还是小圆，圆周率都相同。

师：我们千方百计地研究圆周率，那么这个圆周率到底有什么用呢？

生：知道圆周率，就可以计算出圆的周长。

师：你的意思是，只要知道圆周率就能计算圆的周长，不需要其他条件了？

生：不是，还要知道圆的直径或半径。

师：知道直径怎样求圆的周长？知道半径呢？

生1：因为圆周率是周长除以直径的商，所以圆周率与直径相乘的积就是圆的周长。（板书：圆的周长=直径×圆周率）

师：你能用字母表示圆的周长计算公式吗？

生1：C=πd。（板书公式：C=πd）

生2：因为同一个圆里，直径是半径的2倍，所以把圆周率与半径的2倍相乘也能得到圆的周长。（板书公式：C=2πr）

[评析]

《义务教育数学课程标准》（2011版）把推理能力作为十个核心概念之一，它指出“推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果……合情推理用于探索思路，发现结论”。从小学三年级开始，教材有计划地在每册各编排一个“探索规律”的专题活动，有利于学生养成良好的思维习惯，从而培养孩子的合情推理能力。推理能力的形成不是学生“懂”了，也不是学生“会”了，而是学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法，这种“悟”只有在数学活动中才能得以进行。

在本教学片段中，教师组织、引导学生经历猜想、实验、验证、归纳、概括等数学活动过程，进一步体会由具体到抽象、由特殊到一般的归纳方法，感悟数学思想，积累了探索规律的经验，凸显了探索规律的教学价值。

总之，我们基于培养学生全面发展的核心素养的教学理念，对本节课的几个细节进行改善，力求把小事做精、把细节做亮，细节成就精彩：

精彩1：挖掘教材中的圆周率的概念、圆的周长公式蕴含的思想方法，精心策划，巧妙而深刻地类比搭桥，引导学生发现问题和提出问题，培养学生“善问”的能力，增强学生的“创新意识”。

精彩2：寻求数学中无处不在的不变性质，发现数学规律。领略不变量和不变性的内在魅力，欣赏“守恒”的数学之美。渗透数学文化，实现情感目标。

精彩3：通过对不同圆形物品的周长与直径的测量及比值的计算，发现千变万化的圆的周长与其直径的比是一个固定不变的数的规律。学生在探究规律的过程中，进一步体会由具体到抽象、由特殊到一般的归纳方法，感悟归纳思想，积累探索“变化中的不变”规律的经验，凸显了探索规律的教学价值。

精彩4：充分地揭示圆周率的发展过程和本质，使学生确切地理解圆周率是一个“常数”，欣赏“常数”之美，体会“常数”之用。

（责编 刘小瑗）endprint