化归思想在高中数学教学中的应用

☉苏州大学附属中学 吴 进

数学思想的掌握不是一蹴而就，而是需要经历一个较为漫长的过程，因此在日常的教学中，教师要有意地反复向学生讲解各种数学思想方法，使学生潜移默化中掌握数学思想，最终实现灵活运用数学思想的目标.而化归思想作为解决数学问题的基本思想，它在高中数学中占据着非常崇高的位置，因此本文中，笔者结合多年的教学实践经验，探究了化归思想渗透的教学策略.

一、研读教科书，提炼隐含的化归思想

化归思想往往会隐含在教科书的基础知识中，因此作为一线的教育工作者，要正确对待教科书，深入挖掘、提炼教科书中隐含的化归思想，而在课堂上，教师要合理地运用化归思想，引导学生用“已掌握知识”同化“新知识”，帮助学生强化对于新知识的理解和掌握.例如，“函数的单调性”章节中，首先映入师生眼帘的是学生较为熟悉的“一次函数”“二次函数”的图像.深入研读教科书发现，本节的教学素材就是基本的函数图像，并遵照由“形”到“数”、由“特殊”到“一般”的原则，让学生通过一次函数、二次函数的图像发现图像上升、下降过程中的规律，在此基础上，推广到“函数单调性”的定义.整体来讲，本章节内容可以分为三个阶段：观察图像、归纳规律、得到结论，并且每个阶段的活动，都是学生认知上的升华，且整个过程环环相扣，让学生“润物细无声”地完成学习目标.

二、关注通性通法，奠定化归思想解题的基础

“通性通法”是化归思想解决数学问题的基础，换言之，“通性通法”与化归思想具有一样的普遍意义.通过查阅文献发现，通性通法的知识就是化归思想教学中的本原问题、标准问题，而在日常的数学教学中，教师要注重本原文本和标准型问题的分析与教学，引导学生将对象转化为熟悉的问题，从而提高解题的效率和正确率.从数学问题的类型来讲，确实呈现多样性，但是就数学思想和本质来讲，是不变的.因此，只要抓住问题的本质，就能够实现“以不变应万变”，更能够将知识与能力融为一体.例如，在学习“数系”时，为了掌握“复数系”的运算法则，笔者通过研究整数系、有理数系、实数系的运算规律和运算性质这一“通性”.这样不仅能够消除学生对于“复数系”的陌生感，还能够加深学生对于“复数系”的理解.

三、引导发散思维，提高学生的迁移能力

要想学生更好地领悟“化归思想”，就要采用“启发式”教学，使学生从不同角度思考问题、解答题目，进而使学生的活跃思维得带培养，同时还能够使学生运用“化归思想”的能力得到锻炼和提升.在考试、练习中，经常会遇到变式类比的题目，这就要求学生能够做到“活学一题，贯通一类”，而解决变式类比的题目最注重的就是能够合理地运用化归思想.

例1 关于x的方程|x-2|+|x+1|=a有解，求实数a的取值范围.

所以实数a的取值范围为a≥3.

课堂上，笔者讲解完例1后，紧接着给出了两个变式，分别为变式1、变式2.具体如下：

变式1 关于x的不等式|x-2|+|x+1|≥a有解，求实数a的取值范围.

解析： 设函数f（x）=|x-2|+|x+1|，则有f（x）=由已知条件可知，存在x使不等式|x-2|+|x+1|≥a成立.通过运算，得出f（x）≥3，即|x-2|+|x+1|能取大于或者等于3的所有实数.所以，当a取任何实数时，不等式|x-2|+|x+1|≥a有解.

变式2 关于x的不等式|x-2|+|x+1|≥a恒成立，求实数a的取值范围.

解析：由已知可知，实数a不大于|x-2|+|x+1|的所有值.设函数f（x）=|x-2|+|x+1|，则有f（x）≥3.所以，实数a的取值范围为a≤3.

评注：例1、变式1、变式2是题目的变式类比，也是化归思想的具体应用之一.这三个题目是根据方程有解、不等式有解、不等式恒成立求参数的取值范围问题，而解决这类问题的关键就是将问题转化成为函数的最值问题.

变式类比的题目在日常的练习和考试中经常遇到，它的解决确实需要能够灵活运用化归思想.而一题多解、正难则反的题目也较为常见，而解决问题也需要运用到化归思想.因此作为一线的教育工作者，要为学生创造和谐、愉悦的氛围，万不能禁锢学生的思维，还要注重引导学生的发散思维，进而使学生的迁移能力得到锻炼和培养，更能够提高学生解决问题的能力.

四、联系新旧知识，帮助学生构建知识网络

哪一个知识点都不是孤立存在的，因此在日常的教学中，教师要尽可能实现“温故知新”，使学生的大脑中形成具有自身特色的知识网络.从某种角度来讲，学习的过程就是原有认知结构逐步扩张的过程.而高中阶段的数学内容是小学、初中数学知识的扩张和完善，而高中数学知识的显著特点就是各分支之间的联系更为紧密，导致学生学习的难度更大，甚至部分学生认为数学知识本身就存在矛盾性.但是，若能够合理地运用化归思想将新旧知识联系起来，将新知识转化成为旧知识，这样不仅能够加快学生学习新知的速度，还能够使学生尽快地将新知融入到已有的知识网络中，进而使学生的学习效率和质量得到提高.作为一线的教育工作者，一定要认识到数学知识的零散，更要能够合理地运用数学思想，将零碎的知识吸附到一起，形成完善、科学的知识结构.

例如，等差数列和等比数列的通项公式.基本性质及前n项和都可看成其递推关系的推广和应用.但是，由于受到各种因素的影响，大多数学生会认为等差数列、等比数列是两个独立的知识点，两者之间联系并不紧密，甚至部分学生认为等差数列和等比数列之间毫无关系.而作为一线的教育工作者，就要做到联系新旧知识，使学生就数列的相关内容，形成一个完善的知识结构图，如图1.

图1 知识结构图

五、分析反馈信息，开展针对性、目的性教学

教师的“教”是为学生的“学”提供服务的，因此作为一线的教育工作者，要学会聆听学生的意见和反馈，更重要的是，教师要认识到学生反馈信息的重要性，并能够结合班级学生的实况，分析反馈信息，从而开展具有针对性、目的性的教学.在日常的教学中，教师要尊重学生的个性差异，尽可能为学生提供展现自身“闪光点”的空间与平台，同时还要尽可能弥补学生自身的不足，从而激发学生的学习兴趣，树立学好数学的自信心，进而使学生学习数学的能力得到提升.学习过程就是逐步解决问题的过程，因此学生出现问题时，教师不要急于讲解，更不要直接告知答案，而是要结合学生的特点，采用恰当的教学方式，最终解决问题，整个过程中有助于学生形成具有自身特色的学习策略.

例如，在学习“函数性质”这一章节内容时，笔者以“一次函数”和“二次函数”为载体，了解了班级学生相关知识的掌握情况.对于基础较好的学生，笔者让学生思考课后的“探索与研究”，为学习“导数”奠定基础；而对于基础较为差的学生，笔者则通过“启发式”的教学方法，引导学生完成“函数性质”的研究，在有必要的情况下，可以花费2～5分钟的时间，帮助学生复习初中阶段学过的“一次函数”和“二次函数”的相关性质，在此基础上在引导学生研究函数性质，进而认识到研究函数性质的一般方法.

综上所述，教科书是课堂教学的主要载体，所以作为一线的教育工作者，要深入研读教科书，挖掘、提炼蕴含的化归思想，进而使学生的综合素养和数学技能得到锻炼和提升.同时，在日常教学的课堂上，教师应在日常教学过程中有意地反复向学生讲解化归思想方法，使学生逐渐达到一定的认识高度，最终能自觉地运用.除此之外，教师还应该注重反思，及时分析学生的反馈信息，不断地创新和完善教学方法，开展具有针对性、目的性的教学，真正地贯彻“以生为本”的教学理念，落实素质教育.

1.戴海林.迁移性教学——“等比数列性质的探究”教学设计［J］.中小学数学（高中版），2014（04）.

2.孙西洋.中学数学化归思想方法的教学策略［J］.江苏教育，2013（02）.

3.任兴发.化归思想在高中函数教学中的应用研究［D］.内蒙古师范大学，2013.

4.倪晨旭.例谈化归思想在高中数学解题中的应用［J］.新课程（下），2017（06）.