结果·过程·本质——高中数学解题反思能力的三条主线

☉浙江省台州市第一中学 戴军辉

高中数学教学中，我们要关注学生反思能力的培养，尤其是在围绕数学问题的探索过程中，很多学生的研究止步于答案的得出，这显然是不够的.我们需要引导学生围绕问题解决的一系列过程展开积极的反思，由此来培养学生的自我反馈能力和反思意识，进而提升学生的自主学习能力，这是课程改革背景下数学教师的重要职责，而且提升学生的反思意识不仅是培养学生自学能力的需要，它还将进一步改变学生的学习方法，推动课堂教学向更深层次发展.

一、对解题结果进行反思

学生对问题的解决不可避免地会出现一些错误，这并不可怕，关键是学生要善于对这些错误进行反思.学生错误的出现有时是由于知识上的缺陷造成的，有时是能力缺陷引起的，有时是逻辑和策略上的失误造成的，还有是非智力因素形成的.所以，在解决完一个问题之后，教师都有必要引导学生对结果的正误进行思考，探索错误发生的根源，明确错误产生的原因，进而找到正确的解决方法，并提出改进措施，引领学生积极展开纠正和提升工作.

例1 已知3x2+2y2=9x，求x2+y2的最大值.

反思：虽然以上采用两种不同的分析思路得到了完全相同的结果，即x2+y2的最大值为，但是这些都是错误的，其原因在于学生没有深入分析条件3x2+2y2=9x，由于2y2=9x-3x2是一个非负数，因此可知0≤x≤3.在错误解答1中，x=显然不在上述关于x取值的限定范围内，所以答案肯定有误；在错误解答2中，使用判别式进行解题的基本条件需要未知数的取值范围是整个实数集，而现在x的取值范围被限定，因此无法保证判别式能恒成立.

二、对解题过程进行反思

学生处理习题的主要目的是对所学的知识和技能进行巩固，对所学的思想方法进行熟悉，对隐含于数学知识中的文化价值进行体会.因此，为了提升习题练习的效果，教师在学生完成解题后要积极展开思考，思考的问题可以是以下内容：（1）问题分析过程的每一步推理和演算有什么依据，其中涉及怎样的数学思想？（2）问题的处理中是否还需要补充哪些内容，或是剔除某些环节？（3）围绕问题的分析和解决过程，我们还可以得到哪些结论？（4）如果对题目的条件和图形中的某些因素进行变换和表征，还能采用之前的方法来处理吗？通过这一系列问题的处理和分析，我们可以引导学生对所学知识形成更加深刻的理解与认识，由此还能增强学生应用数学知识的基本意识，进而提高他们自主探索问题的主动性.

例2（1）已知函数f（x）=-x2+2ax+1-a在x∈［0，3］上有最大取值3，请确定实数a的取值；

（2）已知函数f（x）=x2-2ax+1-a在x∈［0，3］上有最大取值3，请确定实数a的取值.

解析：（1）对函数进行变形可得f（x）=-（x-a）2+a2+1-a，当0≤a≤3时，|f（x）|max=f（a）=a2+1-a⇒a=2；当a＜0时，|（fx）|max=（f0）=1-a=3⇒a=-2；当a＞3时，有|（fx）|max=（f3）=5a-8=3⇒a=，这不符合题意，因此舍去，即a的取值为2或者是-2.

（2）对函数变形可得（fx）=（x-a）2-a2+1-a，该函数图像的开口向上，又考虑到给定区间的中点是，所以当a≥时，|（fx）|=（f0）=1-a=3⇒a=-2，这不符合题意，因此舍去；当a＜时，|（fx）|=（f3）=10-7a=3⇒a=1，这个数值与题意相符.

反思：在指导学生进行反思时，我们先要引导学生对一般化的问题：“求二次函数f（x）=ax2+bx+c在区间［α，β］上的最大值”的处理方法进行概括：如果a＞0，则时，函数在x=α处可以取得最大值f（α）；时，函数在x=β处可以取得最大值f（β）.如果处可以取得最大值时，函数在x=α处可以取得最大值f（α）；当时，函数在x=β处可以取得最大值f（β）.

在对以上内容实现概括的基础上，学生进一步实现归纳：“求二次函数f（x）=ax2+bx+c在区间［α，β］的最小值”的分析方法.

三、对问题的本质进行反思

高中生在数学学习中的主要难点在于数学问题的千变万化，很多问题在形式上虽然有不同，但是却可以将其归结到同一类题型上；有的问题形式类似，但是本质有别，具有强烈的迷惑性.因此，我们在指导学生展开反思时，务必要深入问题的本质，将形异质同的问题进行归类，由此引导学生总结出通性和通法；对那些形似而质异的问题展开分析，提升学生的辨析能力，由此避免学生发生错解.在具体的教学过程中，教师要鼓励学生自主展开对问题本质的探索并由此激活学生探索数学问题的兴趣，进而帮助学生自主发掘学习潜能，提升学习的内驱力.

例3 在椭圆1（a＞b＞1）上是否存在点P，使得∠APO=90°（其中O为原点，A为该椭圆的右侧顶点）？

反思：问题的解决绝不是学习的终结，教师还要引导学生展开更深层次的探索和反思，基本的操作可以结合下列问题来展开.

在学生完成了例题的分析和求解工作之后，我们要进一步引导学生对类似的问题展开分析，学生通过研究会发现相关问题虽然在形式上存在差异，但是都属于同一类问题，受之前解题思路的影响，学生充分发挥思维的迁移能力，妥善获取了问题的结论.

综上所述，高中数学教学要发展学生的自学能力，就要将其与数学思维能力、空间想象能力，以及实际问题的解决能力有机地整合在一起，须知反思仅仅只是手段，其目的是发现并解决问题，这样不仅能优化学生的思维品质，更加改善学生的学习方式，有利于数学核心素养的提升.

1.刘希栋.高中数学反思性学习的实践与思考［J］.数学教学研究，2004（10）.

2.白伟雄.浅谈高中数学的反思性学习［J］.数学通报，2006（12）.

3.倪进.高中数学反思性学习的现状调查［J］.中学数学杂志，2006（7）.F