初探数学教学中的类比思想

汤裕斌

摘 要：类比是一种或然性极大的逻辑思维方式，它的创造性表现在发明创造活动中人们能够通过类比已有事物开启创造未知事物的发明思路，其中隐含有触类旁通的涵义。它把己有的事和物与一些表面看来与之毫不相于的事和物联系起来，寻找创新的目标和解决的方法。利用类比教学能起到事半功倍的作用。

关键词：类比 教学 数学

“类比”是一种探究式思维方法，是根据不同事物在某些特性上的相似，推理出它们在另一些特性上也可能相似的思维形式。

“类比”方法是解决陌生问题的一种常用策略。它让我们充分开拓自己的思路，运用已有的知识、经验将陌生的、不熟悉的问题与已经解决了的熟悉的问题或其他相似事物进行类比，从而创造性地解决问题。

一、在类比中形成概念

认知心理学认为，任何概念虽然都是相对独立的，但其间也有一定的内在联系和区别。在概念教学中，学生常常把握不住概念的内涵和外延，不能把握其本质属性，对概念的理解不深刻，运用不准确。因此，在概念教学中，教师要运用各种有效的方法策略，帮助学生理清概念间的关系或联系。

【案例】一元一次方程与一元一次不等式的定义

两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程。

不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式。

三个特点是它们的共性，只要把等号换成不等号就变成了不等式，同样把不等号变成等号就变成了方程。在后继一元一次不等式的解法与应用上起到引领的作用。

从以上事例可看出，教学中如果把相关的概念放在一起，加以类比，全面的分析概念的本质、内涵和外延，有利于学生对数学核心概念的建立。

二、在类比中建构知识框架

相关知识的对比，这就将新知识纳入了学生已有的知识体系中，既复习了旧知识，又建构了新知识。

【案例】有理数与实数的分类

给有理数分类时，如果按“符号”来分，可分为正有理数，零和负有理数；如果按“结构”来分，可分为整数和分数。

讲解实数的分类时，通过类比有理数的分类，学生自然也会按“符号”或“结构”给实数进行分类。与此同时，对数的分类又有了一个新的认识。

三、在类比中深化理解

在数学学习中，有很多知识间存在着某些相似或相同点。教学中实时地运用类比，通过类比对象与学习内容之间的某些共性、差异和特殊性的比较，启迪学生的思维，引导学生弄清知识间的内在联系，使知识系统化，深化理解所学知识，实现知识的意义建构。

【案例】全等三角形与相似三角形的判定

全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL。要判定两个全等三角形都需要三个条件。

要判定两个三角形相似呢？有三个条件的，也有两个条件的，更有一个条件的。

当两个三角形全等时，则这两个三角形相似，相似比为1；当两个三角形相似时且相似比为1时，则两个三角形全等。

四、在类比中解决问题

问题解决是以已有的知识、经验为基础，如果没有相关的先前知识，问题解决则无法进行。即使所谓的“新问题”，也能在贮存的知识系统中或多或少的存在某些“原型”，关键是能否从已有的知识储备中顺利提取到相关的信息。类比能将新问题转化为已有知识经验中相似的问题原型，通过比较在两者之间建立联系，实现知识的有效“迁移”，把当前的情景转换为熟悉的、简单的、清晰的情景，从而使问题得到解决。

【案例】图形的平移，轴对称及旋转

图形的平移，轴对称及旋转，这三者之间并没有存在内在联系，但在作图方面存在着这样一种“原型”——画线段转化成画两个端点，画三角形转化成画三个端点……以此类推。

图形的旋转是较难的，但通过类比其它几种图形变换的画法，也将变得轻松很多。

五、在类比中培养能力

教学中运用类比使学生能体会到知识之间的联系，在先前知识的“引领”下，起到举一反三、触类旁通的效果，能够系统地掌握学科概念，有助于培养学生分析、比较的能力，最终达到发展智力，培养学生的思维能力。

【案例】弧长与扇形的面积公式推导

当老师在介绍完扇形的定义后问道：同学们还记得扇形的弧长是怎么求的吗？

学生1： 。

老师：大家还记得当时我们是怎么研究弧长的求法的吗？

学生们面露难色，无法对答。

随后老师回顾了研究弧长的过程：从180°，90°，45°，一直到1°。再从1°到2°，直到n°。

老师问道：在数学中，我们称这一研究的过程叫做什么，同学们还记得吗？

学生2：从特殊到一般。

老师：是的。利用特殊到一般的数学思路，结合枚举寻找数学规律。我们便发现了弧长的求法。弧是圆的一部分，而扇形是圆面的一部分。同学们能不能借助这些数学思想及方法，独自发现扇形的面积公式呢？

没有多久，确实有不少学生依靠独自研究获得了扇形的面积公式。教师通过不断巡视，发现遇到具体困难的学生，并提供针对性的辅导。

这一策略更多的体现在知识的发生和发展的过程中，体现在对学生的思维和科学精神的捕捉及启发上。

数学家G·波利亚说：“类比是一个伟大的引路人。”在数学的教学与研究中，类比是进行合情推理的一种非常重要的思维方法。它是大自然中各种事物之间的一种相似：当两个对象系统中某些对象间的关系存在一致性或者某些对象间存在同构关系，或者一对多的同态关系时，我们便可对这两个对象系統进行类比，从而可以从一个对象系统得到的某些结果去猜测和发现另一系统的相应的新结果；在我们分析问题解决问题的过程中则可以利用一个较简单的类比问题的解答方法或结果，去找到原问题的解决方法。在我们平时的学习与生活中处处充满着类比，可以说，类比是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法。

在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径。学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中则应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力。

参考文献

[1]王海燕，卢慕稚.初中课堂有效教学模式[M].北京：北京师范大学出版社，2014.

[2]何乃忠.新课程有效教学疑难问题操作性解读[M].北京：教育科学出版社，2007

[3]叶立军.中学数学课题研究与论文写作[M].杭州：浙江大学出版社，2007endprint