初中数学探究性例题教学初探

陆展家

探究性例题是一类具有探索研究性质的数学课题，问题的提出、分析和应用知识解决问题的过程都要学生自己完成，探索过程充分展示数学知识形成的完整性，具有挑战性和创新性，但这类问题，学生往往无所适从、不知道如何入手，这反映出在数学教学中，对探究性例题的教学是一个薄弱环节。本文从两个例子的教学实验，阐述探究性问题教学的做法和重要性。

例1：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的图象，经过原点O交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，-），在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△ABO相似？如果存在请求Q点的坐标；如果不存在请说明理由。

教学过程：

1.问题的提出和发现

若存在，则Q点在哪呢？应该满足什么条件？联想、类比寻找存在的必需条件，从抛物线的对称性中，发现△ABO是等腰三角形，那么△QAO也应该是等腰三角形，即应该有OA=AQ或OA=OQ。

2.问题的分析和猜想

运用数形结合作出合理的猜想和判断，那么以A点或O点为圆心，以OA为半径作弧，圆弧与抛物线的交点就应该是我们要找的点！如何证明？证△ABO相似△QAO的条件还不充分，我们能否逆思维？先认定它们相似，求出Q点坐标，然后验证它们是否真的相似，如果结论为真，则Q点就是我们要找的点，如果结论为假则说明Q点不存在。

3.f问题的解决和表述

如何求Q点坐标呢？运用方程观点寻找解决问题的方案（由于初中还没有具备曲线方程的知识，因此引导学生应用熟知的知识建立方程），由题意容易求得抛物线的函数解析式y=x2-x，从而得到A点坐标（6，0），B点坐标（3，-），过B作BP⊥OA，则tan∠BAP=故得∠BOA=30°

设Q点坐标为（x，x2-x），过点Q作QF⊥x轴，因为△OAB相似△OQA，

故可得OF=QF，即x=（x2-x），解得x=9或x=0（舍去），经检验此时△OQA和△OBA相似。即可得

Q（9，3）是符合条件的点，根据函数的对称性可得另外一个符合条件的点Q（-3，3）。

例2：如图抛物线y=x2-bx-5与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，OC∶OA=5∶1，在直线AF上是否存在点P使△CFP是直角三角形？若存在求出P点坐标，若不存在说明理由

教学过程：

1.问题的提出和发现

若存在，应满足什么条件？由已知可知P点在AF上，联想、类比寻找存在的必需条件，由题设可知△CFP须是直角三角形，那么要有一个角是直角，∠CFP不是直角，那么须要∠FCP或∠FPC是直角。

2.问题的分析和猜想

运用数形结合作出合理的猜想和判断，以上两种情况皆有可能，因此要对两种情况分类讨论。究竟哪种情况是对的呢？我们运用逆向思维，先认定某种情形是对的，然后试求P点坐标，若两种情况都无解，则P点不存在，若有解，我们经过验证确定符合条件后，可以认定所求的P点的确存在。

3.f问题的解决与表述

如何求P点的坐标呢？建立方程求解，由题意可以求出抛物线的解析式为y=x2-4x-5，进一步可以求出直线AF的解析式为y=-x-1，若∠CPF是直角，过点C作CP⊥AF于点P，设P点坐标为（x，-x-1），因为∠ECF=90°，E（0，-1），C（0，-5），F（4，-5），所以CE=CF，从而EP=PF，又有CP=PF，所以，點P在抛物线的对称轴上，所以x=2代入y=-x-1得y=-3得P点坐标为（2，-3），若

∠FCP=90°时，点P与点E重合。经验证，直线AF上存在点P坐标为（0，-1）或（2，-3），使△CFP是直角三角形。

探究性问题是为了培养学生创新思维而应对设置的问题教学，探究的过程突出数学的基本观念和思想，强调数学思维方法，培养学生思维的灵活性，但由于教学习惯使然，这类问题常常被认为是难题，而不敢展开深入的教学探索，或者只是针对所谓的尖子生而教。探究问题的思维形式虽然散，但思维的思想方法、数学观点是不散的，数学问题的探究过程就像做一篇散文，只要我们把握好它的”神”，那么，教学就能做到收放自如，学生对问题的探究兴趣就会倍增，教育教学就会为社会培养出更多具备创新能力的人才，文化教育不只是培养有知识的下一代，更重要的是培养有创新发明的人脑，在数学教学中重视探究性例题的教学研究是十分必要的。

？誗编辑 李琴芳endprint