高中数学中的平面向量数量积概念分析

王洋洋

摘 要：平面向量是高中数学的重要组成部分，而教学的重点和难点都集中在如何深化学生对平面向量数量积概念的掌握，以便提高学生对向量知识的灵活运用能力。数学概念的理解是建立在发现问题、分析问题和解决问题的基础上，因此高中数学教师必须重视对平面向量数量积概念的教学。分析了平面向量数量积的概念，以此提出在解决实际问题中的应用，希望具有一定的借鉴意义和参考价值。

关键词：高中数学；平面向量数量积；概念

高中数学平面向量数量积模块知识的学习见于必修四教材中，在此之前，物理学科教学中已经接触了平面向量的概念，有关数学平面向量的学习更为理论化、系统化，因此掌握平面向量数量积概念以解决实际数学问题成为教学重点，这就需要数学教师提出有效应用策略，从本质上来剖析平面向量数量积概念中的三种形式和相互之间的关系。

一、重视运算，理解向量本质

数量积是向量的一种运算，而运算的法则就蕴含在平面向量数量积中，涉及数量积的定义、几何含义、坐标运算等形式，想要从本质上解决平面向量数量积问题，就要对概念中包含的各种指示加以深化。向量属于大小和方向同时俱存的量，是矢量，这一特征的掌控是概念理解的基础。高中教材中给出的平面向量数量积定义为：两个向量a，b，夹角为？兹，那么|a||b|cos？兹叫作a和b的数量积。表面定义看起来比较简单，但是想要学生充分理解這一概念，并且做到灵活运用具有一定的难度，这需要教师在实际解决问题时重视向量运算的讲解，以便引导学生正确把握向量计算中的规律，夯实向量基础功底，以便为解决更为复杂的向量数量积问题打下坚实的基础。因此教师可以从以下例题为切入点，为学生展示出向量知识的活用。

例1：有两个相互垂直的单位向量m，n，满足关系式a-b=-8m+16n，a+b=2m-8n，求出a·b。

根据题目给出的条件，明白该题目的目的是帮助学生理解单位向量，并且对向量进行简单运算，首先利用单位向量m和n，可以将两个向量a和b分别求出，化简a=-3m+4n，b=5m-12n，因此可以得出a·b=（-3m+4n）（5m-12n）=-63。以上例题属于基础的向量知识，可以根据学生掌握知识情况适当提高题目难度，以进一步提升向量深度。

二、利用图形，掌握向量

高中数学分析平面向量数量积概念时，不能仅仅局限于单纯讲解向量定义和客观规律有关的知识点，还应该学会利用图形，有时能发挥意想不到的效果，让学生更加全面系统地理解向量知识在实践中的应用。

三、通过坐标，积极探索

利用坐标来解决问题是由参考的图形的几何性质决定的，建立坐标系能够准确使用坐标表示向量。根本难点在于坐标系的建立需要准确，箭头方向要具体。从此进入平面向量数量积概念的学习中，两个数值之间相乘必然会得到数值，然而多数学生在平面向量数量积的概念中容易和平面向量相混合，存在误区的学生会将数量积概念认为是两个向量的相乘也应该是向量，而不会在公式中得出大小和方向，由于两个向量的模和两个向量之间的夹角的余弦值相乘，最后得到的是数，因此这种情况才是数量积而并非向量。少数学生对于数量积和向量两者之间的混合归根结底是对数量积认识不到位，概念理解不够彻底，从而缺乏应用意识和应用能力，对此首先要让学生在理解概念的基础上多加训练题目，这是对数学中基本概念和定义的掌握，需要注意的是平面向量数量积是数不是向量，根据字面理解最后的乘积必然是数而并非其他形式。

综上所述，平面向量数量积系统概念主要包括定义、几何意义和坐标运算等多个层面。通过概念的应用可以理解为数量积是一个系统才能，学生在分析概念的基础上最终形成的结果必然是要掌握本质知识，灵活运用各种概念解决存在的问题。因此作为高中数学教师，需要注重概念的分析教学，并且通过概念分解让学生提高认识，从而提高数学学科文化素养，和形成改革下高考要求相符合，同时促进数学学科的完善。

参考文献：

[1]朱纬.高中数学中平面向量数量积概念的应用探究[J].数学学习与研究，2017（15）：37.

[2]雷一霄.高中数学平面向量数量积问题的学习与优化处理[J].数学学习与研究，2017（15）：41-42.

[3]韩静波，苏怀堂.高中数学中平面向量数量积概念的应用[J].新课程（中学），2015（10）：44.

编辑 李琴芳