VMD与多重分形奇异谱的往复压缩机故障特征预测方法

刘 岩 ，王金东 ，李 颖

（1.东北石油大学 机械科学与工程学院，黑龙江 大庆 163318；2.齐齐哈尔大学 机电工程学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）

1 引言

对于天然气与石化行业的大型往复式压缩机故障诊断而言，轴承类故障因其监测的困难性及后果的突发性与危害性，决定了对其开展有效的故障诊断的意义重大[1，6]。故障状态及寿命预测作为故障诊断技术不可或缺的环节，在往复机轴承类故障诊断中其重要性尤为突出。

大型往复机作为典型的非线性系统，其预测不准确的主要原因在于：系统动力模型与实际的差异、初始条件的影响2方面[1]。从预测模型角度分析，确定性的参数类回归模型由于模型影响参数过多、影响因素考虑不足以及模型修正过分依赖主观性等不足，造成可靠度和精度不高而限制其应用；非参数回归方法是一种近年来在预测学中较热门建模方法，特别适合于不确定性、非线性动态系统。另外，对于初始条件的影响，帕科德（Packard）在1980年提出用时间序列相空间重构理论，从静态点与时间关系结合的角度再现了系统动态演化轨迹；为复杂非线性系统演化趋势分析提供有效途径[1-2]。学者们基于KNN及与相空间重构方法结合的改进算法方面开展了大量研究，如文献[3]在股票价格预测中提出一种基于径向基网络的KNN预测模型；文献[4]提出EMD分解与KNN结合的股票价格改进预测模型；文献[5]将改进KNN算法和相空间重构结合在风电功率预测中取得较好的效果。

然而，往复机振动信号表现出的类周期震荡和复杂的多重分形特征—即长期不可预测性，使得对该类振动信号预测而言，局限在振动时序离散点值的预测，而忽略因初始条件敏感性决定的预测可信时间的方法显然不可取，同时预测结果受熵值复杂度和类周期振动的制约，有限个振动幅值因无法展现系统整周期包含的细节特征而失去意义。

基于以上分析，笔者将最大预测可信时间引入预测算法，对时序信号等间隔周期采样，利用VMD算法提取主分量并提取各采样时段的多重分形奇异谱特征参数构造预测序列，计算各模态分量的最大预测可信时间以确定预测可信时段，基于相空间重构的改进KNN创建初始建模域，以C_C算法变参数寻优还原系统演化趋势；算法将度量预测时间的熵值和基于模态分解的多重分形谱特征有效结合，将系统动力学模型和初始条件影响因素作为整体统一在算法中。

2 系统预测可信时间

在香农（Shannon）信息论中，对于M维时间序列的相空间点对，若将其划分为k个尺寸为rM的单元，令单元序列si的生成概率为pi；其信息值Ik它正比于以精度r确定系统单元区域序列si（或称轨道）所需信息；即Ik+1-Ik度量了系统从时间（k-1）τ到kτ的信息损失[1，6]。

系统的最大预测可信时间可用K（柯尔莫哥洛夫，Kolmogorov）熵表示，设t时刻信息量为I（t），经过Δt后的信息量为I（t+Δt），则有：I（t+Δt）=I（t）-KΔt；

令I（t）=1，当I（t+Δt）=0时，即可得到系统的最大预测可信时间T=1/K。由于Renyi熵具有性质Kq≤Kq+1，可用Renyi熵的下界K2作为K熵的近似估计[1]。式（1）可近似用式（2）表示：

式中：Cm（r）—m维相空间距离小于r的点对占的比例，即C_C算

法的相似容限，故有：

式（4）中当嵌入维数m饱和时，可得T≈1/K2。具体算法流程，如图1所示。

图1 预测可信时间计算流程Fig.1 The Flowchart of Maximum Dependable Prediction Time

3 变分模态分解

变分模态分解（VMD）是由Dragomiretskiy和Zosso于2014年提出的一种新的自适应信号分解方法。通过求解变分框架中的约束变分模型，自适应地将复杂的多分量振动信号分解成一组有限带宽的模态函数，实现各信号分量的频率分离[7]。

对任意信号x（t），分解步骤可分为两部分：

3.1 建立变分模型：

（1）定义有限带宽的内禀模态函数（Band-Limited Intrinsic Mode Function，BLIMF）；

（2）构建解析信号获取单边谱，然后混频得：

（3）估计带宽：通过高斯平滑（即L2范数梯度的平方根）对信号解调获得各模态函数带宽；

（4）建立优化模型：引入约束条件，构造优化变分模型如下：

式中：K—BLIMF 分量｛uk｝=｛u1，u2，L，uK｝的数目；

｛ωk｝=｛ω1，ω2，L，ωK｝—uk（t）中心频率。

3.2 变分模型求解

（1）为获得上述变分模型的最优解，VMD通过引入二次罚因子 α 和拉格朗日乘数 λ（t）构建增广拉格朗日函数 L（｛uk｝，｛ωk｝，λ），把约束问题转化为无约束问题。

其中，二次惩罚因子在高斯噪声的存在下保证了信号重构的准确性，而拉格朗日乘子可以保证模型约束的刚度；

（2）用乘数交替方向法更新｛uk｝，｛ωk｝和 λ，并寻求增广拉格朗日函数的鞍点，变分模型的最优值显示在方程（8）里；由此，输入信号x（t）被分解成K个BLIMF分量。

4 基于PSR的KNN预测模型

传统的KNN预测算法原理是对原n个数据构造m个序列，找到其最邻近的k个值，然后依据k个点的均值作为第（n+1）个数据的预测值[8]。算法认为，系统的内在复杂的映射关系均包含在历史数据中，它既没有针对历史数据建立训练模型，也没有将历史数据作处理，特别适合于非线性问题的快速分类[9]。

基于C_C算法对序列相空间重构（Phasespacereconstruction，PSR），改进了KNN算法对模型的决策性，由于空间重构与原动力系统方程微分同胚，能使相点分布表现出最优空间支撑；将构造的空间矩阵行向量作为KNN的建模域，每次计算得到的k个邻近点均值作为状态空间的下一个演化轨迹点；以预测值滚动更新建模域，并重新计算嵌入维度m和延迟时间τ实现变参数预测，依此循环直至序列最大可信时间尺度。

具体预测步骤如下：（1）等间隔抽取测点的等长短时周期振动信号，构造长度为L的振动时序X0；（2）计算X0分解尺度并VMD分解，计算各BLIMF的最大预测可信时间尺度向量Ti=［T1，T2…Tn］；（3）提取各主模态不同时段的多重分形奇异谱特征值，形成特征序列；（4）创建不同模态特征序列初始建模域，通过C_C算法计算嵌入维度m和时延；（5）以该重构相空间点列为初始待分类序列，KNN算法计算该相型分布的k个邻近；（6）以K个邻近的加权均值为该奇异谱特征预测值，建模域滚动前移再预测；（8）重复（2）～（7）步；直至各模态的min｛Ti｝为截止时间尺度，获得特征值预测序列。因此对于多重分形奇异谱特征向量而言，基于VMD和PSR（相空间重构）的改进KNN预测算法（称为VMD＆PSR_KNN法）计算框图，如图2所示。

图2 VMD＆PSR_KNN预测流程Fig.2 The Flowchart of VMD＆PSR_KNN Method

5 实例分析

结合以上分析与算法流程，课组对大庆天然气公司压气站2D12型往复式压缩机为研究对象；其中，压缩机主要参数为：轴功率500kW，排气量70m3/min，活塞行程240mm，电机转速496r/min。采集设备大修前30天的大头轴瓦敏感测点（缸体外曲轴箱处）振动信号；数据采集系统为湖北优泰公司的uT3416型16通道数据采集仪；压缩机结构与测点位置，如图3所示。其中，黑色三角形表示二级轴瓦敏感测点位置。

5.1 算法参数确定

由于振动信号内部的分形本质限定了预测只能是有限时间长度的可信值；而基于故障识别的要求，预测得到的信号要展现至少一个周期内的振动特征，以满足对其进一步分析和处理的需求；同时，过分强调增加采样间隔，似乎能增到预测可信时间，但必然会与复杂系统动力学演化的长期不可预测性特性相悖。

为保证采样的有效长度，对长期采样序列每间隔1h取得2周期约2410个采样点（采样频率10kHz），获得30h的间隔采样数据，为便于程序化计算，采用MRMR（最大相关最小冗余）法计算各个采样时段的VMD预分解个数均为4个，计算各模态序列的最大预测可信时间间隔向量为：T=［43Vt 33Vt 35Vt 37Vt］，可知在计算点后33h内的预测值是可信的；KNN算法中取邻近值K=3。

图3 2D12往复式压缩机结构如图Fig.3 The Structure of 2D12 Reciprocating Compressor

多重分形奇异谱特征量中，谱中心值α0（fmax＝f（α0））代表信号长程相关性，其值越大相关性越强，其稳定性虽好而可分性并不好[5-6]；通过构造包含对称性和奇异性的谱差比△αdr=（αmax-α0）/（α0-αmin）；以物理意义明确的α0和△αdr形成稳定、可分的特征向量作为预测指标，拟将其用于相空间重构改进的KNN预测模型加以预测。多重分形奇异谱形态参数示意，如图4所示。

图4 多重分形奇异谱形态参数示意Fig.4 Schematic Diagram of Shape Parameter for MSS

5.2 特征值预测结果

基于上述算法参数计算与分析，将该状态时间序列经VMD分解的4个BLIMF的谱参数α0和Δαdr计算结果与实测结果，如图5、图6所示。

图5 各主模态奇异谱中心值Fig.5 Central Valueof MSS for Each BLIMF

图6 各主模态奇异谱谱差比Fig.6 Difference Ratioof MSS for Each BLIMF

从各个模态分量的特征参数预测趋势可见，谱宽和中心值两个参数其幅值和波动趋势均与实测数据偏差较小，特别是前20个预测可信时间间隔以内，预测值的吻合度较高。

5.3 方法评估

为证明算法有效性，课组采用线性拟合回归的方式[4]；构造方程为Ypredict=R×Xactual+Err，Ypredict和Xactual分别表示预测值和实测值，Err为拟和误差，R为曲线斜率，其值越接近1则曲线预测效果越好，用相同数据分别对EMD_KNN、VMD_KNN和VMD&PSR_KNN三种预测方法做对比分析（其中在EMD分解中取前4个主模态，其信号能量比率已达到80%，已包含了高频的特征信息[10]），两特征参数回归比较结果（图略）。

回归分析可见，EMD_KNN算法由于模态混叠等因素造成特征值预测结果不佳，而VMD法因模态分解方面由于EMD而使预测精度明显提高，特别是结合空间重构变参数建模后，算法考虑了时序熵值的变化的影响，预测回归结果最优。

表1 各方法a0预测值误差比较Tab.1 Comparison of Predicted Errors for a0by Different Methods

表2 各方法Δadr预测值误差比较Tab.2 Comparison of Predicted Errors for Δadrby Different Methods

如表1、表2所示对三种方法得到的特征参数预测误差用标准差（STD）和均方差（RMSE）汇总并比较，两种基于VMD分解的预测算法得到的预测特征值与实测序列计算的特征值误差较小；可以证实，文中多重分型谱参数KNN预测算法的有效性；更为重要的是，从基于多重分形谱形参数衰减指标程度判定，该故障已达到重度磨损阈值，这与停机大修检查的实际结果是一致。

6 结论

（1）从熵值变化反映复杂系统初始敏感性角度将最大预测可信时间算法引入预测程序，优化预测时间尺度；（2）从相空间重构与原系统状态方程微分同胚原理出发，利用VMD算法改进KNN非参数预测模型缺陷，结合相空间重构变尺度构造建模域，再现系统动力学演化趋势；（3）基于多重分形理论，选择可分性和鲁棒性较好的奇异谱特征参数，结合VMD分解方法提取表征精细分形的特征向量，提高非参数预测算法理论的可解释性。通过特征提取与实测分析证实，相比于EMD和传统KNN算法，基于VMD多重分形奇异谱的变参数相空间重构预测算法为设备健康状态评估提供新的途径和理论支撑。

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