对称性、轮换对称性在重积分计算中的应用

朱碧 李帅

[摘要]对称不仅存在于日常生活中，在高等数学的积分中，尤其是重积分中也十分常见。在高等数学中积分是相当重要的内容，重积分的计算过程有时是相当复杂的，但是特殊情况也有巧妙的求解方法，对称性、轮换对称性就是一种非常巧妙的方法。本文分析并归纳总结了轮换对称性在积分计算和证明中的应用。

[关键词]重积分;对称性;轮换对称性;积分计算

一、轮换对称的定义

定义1：设D为一有界可度量的平面区域，若∨x，y∈D，y，x∈D，那么称区域D关于x，y具有轮换对称性。

定理1：设D为一有界可度量平面区域，并且关于x，y具有轮换对称性，z=f（x，y）是定义在D上的连续函数，则度量微元）。

定义2：设Q是一有界可度量的几何体，其边界光滑，如果x，y，z任意两者互换位置Q都不变，则称Q关于x，y，z具有轮换对称性。

定理2：设Q是一有界可度量的几何体，其边界光滑，若Q关于x，y，z具有轮换对称性，w= f （x，y，z）是Q上的连续函数，则

二、重积分的计算和证明一利用对称性、轮换对称性

我们将通过一系列例子，把重积分的积分区域对称性问题和被积函数对称性问题逐一研究，在研究的过程中感受对称性和轮换对称性在重积分计算时的重要作用。

[注]如果被積函数或其代数和的某一部分具有对称性，我们也可以此作为突破口来求解。

这一例子就是著名的施瓦茨不等式，当然这个著名不等式的证明不止这一种方法，但是通过查阅资料发现，其他的证明方法要么绕了很大弯子，最终回归定义上，要么计算量十分大。显然，运用对称性和轮换对称性在证明重积分的相关结论时是相当轻松的。

总结

以上的计算和证明都巧妙地利用了对称性或轮换对称性的相关知识，从而使看上去烦琐复杂的计算和证明过程简单了许多。当然，上述例子的计算和证明方法肯定不止这一种，但是，其他路径都不如此来得更直接、精炼。我们利用对称性和轮换对称性来计算、证明重积分的相关结论时，首先要看清是关于原点对称，还是关于坐标轴对称，或是其具有轮换对称性，以便于我们更好地利用总结的结论直接求解。

通过以上几个例子对重积分中的对称性进行了解释说明，由此可见对称性，尤其是轮换对称性在重积分计算过程中的重要作用，对称性的运用不仅可以简化许多计算步骤，还可以省去数学解题中许多烦琐的问题，使我们可以节约更多的时间。

参考文献：

[1]赵凯.高等数学学习与指导[M].北京：地质出版社，2001.

[2]同济大学数学教研室.高等数学（第五版）上册[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]钱吉林.数学分析解题精粹[M].武汉：崇文书局，2003.