随机地震激励下高墩桥梁碰撞可靠度分析

贾宏宇， 杜修力， 罗 楠， 张 金， 郑史雄， 张克跃

(1.北京工业大学城市与工程安全减灾教育部重点实验室，北京100124;2.西南交通大学土木工程学院，四川成都610031)

地震造成桥梁不同程度的破坏，其中，桥梁上部结构破坏是桥梁破坏中重要组成部分.然而，上部结构破坏基本都与梁体之间的碰撞有关［1］.控制梁体碰撞最直接的方法就是提供足够的间隙宽度.因此，适当调节相邻梁体的间隙宽度可避免或减小桥梁上部结构在地震作用下的碰撞破坏［2］.山区高墩桥梁跨越峡谷使得墩的高度超过百米，纵向刚度相对较小，纵向位移大，从而增加了梁体之间碰撞的概率，所以控制山区高墩桥梁碰撞对减小高墩桥梁上部结构破坏有着重要意义.

地震本身具有随机性，运用概率分析方法研究随机性对桥梁结构动力行为的影响是非常必要的，也符合客观实际情况［3］.基于虚拟激励法的可靠度方法既能反映地震动的随机性，又能体现结构参数的随机性，是未来基于概率抗震分析方法的必然发展趋势［4］.许多学者对桥梁碰撞问题进行了研究，但是基于可靠度分析的梁体间隙宽度概率量化方法非常少［5-9］.文献［10］考虑了多层土分布对高墩桥梁梁体间相对位移响应均值的影响，为同类高墩桥梁间隙宽度的设计提供参考;文献［11-12］将结构简化为两个单自由度系统，研究了碰撞的临界间隙宽度与跨度、支座屈服力和上部结构自重的关系;文献［13-15］研究了地震动空间性、场地土条件、桩-土相互作用对两跨简支梁梁体碰撞间隙的影响，在软土基础情况下，忽略桩-土相互作用会低估梁体间隙宽度;文献［16］将两跨桥梁简化为6个自由度的系统，研究了连接系统参数(刚度和阻尼)对碰撞间隙的影响，合理的选择连接系统参数(刚度和阻尼)可以避免碰撞，同时也能保证行车的平顺性;文献［17］基于随机振动理论，分析了平稳地震激励下高墩桥梁在各地震强度作用下间隙宽度需求机理.上述学者运用理论分析方法和数值模拟技术来研究梁体间隙宽度，但是未能进一步体现间隙宽度的概率分布规律.对于碰撞间隙宽度的可靠度分析非常少，且对于高墩桥梁间隙宽度的概率分析就几乎没有.为了体现随机地震作用下，高墩桥梁碰撞间隙宽度的概率分布，也为高墩铁路桥梁基于性能的抗震分析做准备.研究高墩桥梁梁体之间碰撞间隙宽度的概率分布情况是非常有意义的.

本文基于以上研究，以某高墩大跨度桥为研究对象.首先，在ANSYS中建立有限元数值模型;其次，将直接位移求解的虚拟激励法引入到动力可靠度计算之中，提高其计算效率;最后，将反应谱转换为功率谱作为地震动输入基础，基于虚拟激励法求得梁体相对位移响应峰值的均值和均方值，根据首次超越理论研究不同地震强度作用下梁体间发生碰撞可靠度.

1 动力可靠度理论

1.1 运动方程及求解

假设桥梁结构具有m个墩，且被离散成为n个节点的线性系统，考虑平动地震动激励和地震动空间变异性，地震作用下桥梁结构的运动方程用矩阵形式表示为

式中:下标s为结构离散节点，b为基础节点;Xb、 Xb、¨Xb分别为3m维列向量的地面强迫位移、速度和加速度;Xs、 Xs、¨Xs分别为3n维列向量的结构系统所有非基础点的位移、速度和加速度;Pb为3m维列向量地震力;M、C、K分别为质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵;Mss为结构离散节点质量矩阵;Mbb为基础节点质量矩阵;Msb和Mbs为结构与基础相互的质量矩阵且内部系数符号相反，以此类推矩阵C、K中各字母所代表的意义.

将式(1)中有地震力参与项展开可得

因为桥墩底受到的地震力等于基础大质量Mbb与地面加速度¨ub的乘积，即Pb=Mbb¨ub.则

式(2)可表示为

式(3)两边同时乘以大质量逆矩阵M－1bb，可得

根据上述推导，只要基础处设置的质量足够大，就能保证基础处的地面加速度和桥墩底部地震响应加速度相等，从而简化式(1)求解，且方便在通用有限元软件中实现模拟.

将式(5)代入式(1)的第一项中展开可得

基础处虚拟荷载为［3］

式中:珘u¨b、珘u·b、珘ub分别为基础处的虚拟加速度、虚拟速度、虚拟位移;P由3m×3m的功率谱矩阵S0(iω)=PPT分解得到.将式(7)代入式(6)整理可得

忽略式(8)中的阻尼项，得到虚拟激励动力方程，如式(9).

式(9)也为简谐振动方程，即将平稳随机振动问题转换为谐分析，求解式(9)可得到绝对位移响应的功率谱矩阵为

求得位移响应功率谱后，进一步可得到各阶谱矩阵，也就得到响应均值和方差等概率特征值.本文在求得响应功率谱矩阵后，根据Davenport提出的方法求得响应峰值的期望值和标准差.

1.2 结构动力可靠度理论

在桥梁结构抗震分析中，基于首次超越的破坏机制简单实用且工程应用广泛.特别是在梁体碰撞问题中，以梁体间相对位移响应峰值为随机分布，间隙宽度作为首次超越安全界限.在基于首次超越破坏准则的结构动力可靠度分析中，假设梁体间相对位移响应峰值与安全界限(间隙宽度)交叉次数服从一定的概率分布，此处假设其服从泊松分布和马尔科夫分布［4］.

(1)基于Davenport假定，梁体间相对位移峰值响应为随机过程，且与超过间隙宽度的任意两次交叉事件相互独立，那么假设在时间(0，t］，内相对位移峰值x超过间隙宽度界限k发生碰撞的次数服从泊松分布.假设桥梁碰撞为对称双侧D界限问题，梁体碰撞可靠度表示为

式中:σx和σx分别为相对位移和相对速度峰值响应标准差;设(σxt)/(2πσx)=v，即为平均穿零率，可通过式(12)求得.

式中:λ0，λ2均为动力响应功率谱谱矩，

(2)基于梁体相对位移峰值响应与超过梁体间隙宽度界限而发生碰撞的交差次数成群出现，可假定梁体碰撞服从马尔可夫过程，则梁体碰撞可靠度可表示为

式中:q为功率谱带宽参数，如式(15).

2 工程算例

2.1 桥梁简介及模拟

本文以某特大高墩桥梁为实际工程背景，桥总长485 m，全桥结构为88 m+168 m+88 m预应力混凝土连续刚构桥和33 m+56 m+33 m预应力混凝土连续梁桥相结合，总体布置如图1.

其中，刚构桥主梁为变截面箱型截面，跨中梁高6 m，端部梁高12 m，按二次抛物线变化，箱梁顶面宽12 m，底板宽8 m.下部结构采用空心薄壁墩，1#墩墩身采用一次变坡，墩高76 m，横向外坡为15∶1，横向内坡为 35 ∶1;2#墩高 103 m，墩型为双变坡墩，自墩顶向下在75 m处开始第二次变坡.

刚构桥主梁及以下4 m范围内墩身均采用C55混凝土，其余部分桥墩采用C40混凝土;连续梁桥主梁采用C55混凝土，桥墩采用C35混凝土.3#桥墩刚构桥与连续梁桥主梁之间设置10 cm间隙宽度.

图1 高墩桥梁立面示意Fig.1 Schematic view of the high-pier bridge

本文采用通用有限元软件ANSYS建立高墩桥梁结构有限元模型，如图2所示.

图2 三维有限元模型Fig.2 3-D finite element model of bridge

图2 中:P1～P5为桥墩;A1、A2为桥台;M1～M5为活动支座;F1、F2为固定支座;A-B为梁-桥梁碰撞处;B-B代表梁-梁碰撞处.

桥墩和主梁均采用梁单元(beam44)模拟;刚构桥部分主梁与墩固结(共节点);连续梁4#墩顶固定支座处采用共节点处理，滑动支座处采用自由度释放.各桥墩底部6个自由度均被约束，桥台处竖向位移约束.桥梁置于总体坐标中(纵桥向为X轴，横桥向为Y轴，竖向为Z轴).

2.2 地震动输入确定

根据实际地震危害性分析报告，该桥桥位处地震动峰值加速度为0.10g，地震动反应谱特征周期为0.65 s，场地类别为Ⅰ类.为了研究结构在不同强度地震动作用下的抗震性能，本文基于随机振动分析，运用动力增量分析方法得到结构地震峰值均值响应与地震动强度参数之间的关系，然后根据概率分布函数得到结构的可靠度.首先要为动力增量分析方法选取合适的地震动输入，将反应谱输入转化为功率谱，然后基于虚拟激励法计算结构峰值响应，从而建立峰值响应与地震动强度之间的关系.

本文选择公路桥梁抗震设计细则(2008)给出的水平加速度反应谱，阻尼比取0.05，水平设计加速度反应谱S为

式中:Tg为特征周期，s;T为结构自振周期，s;Smax为水平设计加速度反应谱最大值.

根据该桥址所处的场地条件和公路桥梁抗震设计细则(2008)，反应谱参数取值为:Tg=0.3 s;Ci=1.7;Cd=1.0;Cs=0.9;Smax=2.25CiCdCsA;A 取值分别为 0.10g、0.15g、0.20g 直到 1.0g(间隔 0.05g或 0.1g).

依据 Kaul法［18］，将反应谱转换为功率谱，如式(17).

式中:ξ为阻尼比;Tc为持续时间;Q为反应谱的超越概率;Ra(ω)为设计加速度反应谱.

参数选择分别为 ξ=0.05;Tc=25 s;P=0.85.选择输入规范给定的加速度反应谱和相应的功率谱分别如图3、4所示.

从转化的功率谱来看，地震输入能量集中在18 rad/s附近，反映Ⅰ类场地类别特征，随着谱加速度递增，功率谱曲线成线性增加趋势，故类似的转化，可只将最小和最大谱加速度反应谱转化为对应的功率谱，然后进行内插值得到其他功率谱，节约转化计算时间.

图3 加速度反应谱Fig.3 Acceleration response spectra

图4 转换功率谱Fig.4 Power spectrum transformed from response spectrum

2.3 动力特性及碰撞响应分析

基于ANSYS的Modal模块，采用Block Lanczos方法计算了该大桥前20阶的自振频率.本文仅考虑相邻梁体纵向碰撞，因此，只需考虑3#桥墩顶的左右梁体(主桥和引桥)纵向振动参与振型.经试算，主桥和引桥第1阶纵向振动参与贡献最大，因此，此处仅列前5阶振型的动力特征，如表1.

表1 动力特性Tab.1 Dynamic characteristics

为了突出研究的目的，本文仅研究刚构桥和连续梁之间主梁碰撞可靠度.假设刚构桥和连续梁之间设置10 cm抗震缝(即间隙宽度10 cm).根据式(17)，反应谱转化为相应的功率谱(图4).基于虚拟激励法及ANSYS中的谐分析计算，获得3号墩墩顶处左右侧主梁的位移功率谱分别如图5、6所示，梁体间相对位移的功率谱如图7所示.

图5 3#墩左端主梁位移功率谱Fig.5 Displacement power spectrum of left girder on No.3 pier

图6 3#墩右端主梁位移功率谱Fig.6 Displacement power spectrum of right girder on No.3 pier

从图5、6可知，3#桥梁墩上左右端梁体纵向位移响应峰值分别发生在频率点0.7 Hz和1.0 Hz附近.

由表1可知，纵向碰撞振动主要由主桥和引桥各自的第1阶纵向振动振型参与.由于采用大质量法的绝对位移求解动力方程，基础底部布置大质量后，解除纵向约束而产生附加振型［19］，因此，在图5、6中，位移响应峰值在结构真实频率附近，低于真实频率0.71 Hz的情况应该舍去.相邻梁体相对位移功率谱响应如图7所示，相对位移功率谱峰值发生在左侧主梁纵向振动(第1阶)和右侧引桥纵向振动(第3阶)频率处.

按照Kiureghian［18］所提方法，将响应功率谱值转化为峰值响应的期望值和标准差，并表示相对位移响应，如图8所示.

随着地震动强度指标谱加速度值增大，相对位移响应的峰值和均方根值都呈现线性增加趋势.谱加速度达到0.22g时，相对位移响应峰值为10 cm，表明梁体之间刚好不发生碰撞;谱加速度超过0.22g时，梁体之间发生碰撞;谱加速度等于1.0g时，相对位移峰值达到了45.3 cm，远超过预留间隙宽度10 cm，表明梁体间发生严重碰撞.基于间隙宽度来研究梁体碰撞可靠度，未考虑梁体之间碰撞后的动力响应，梁体发生碰撞后，梁体之间相互限制其运动，因此本文计算结果相对保守，偏于安全.

图7 相对位移功率谱Fig.7 Relative displacement power spectrum

图8 主梁相对位移Fig.8 Relative displacement of main girder

图9 给出了相对位移超过间隙宽度后发生碰撞的可靠度.从图9可知，随着地震强度的不断增大，梁体碰撞动力可靠度逐渐减小.地震动谱加速度值小于0.22g时，结构碰撞动力可靠度为1，即未发生碰撞;谱加速度值大于0.22g时，动力可靠度下降明显，谱加速度值为1.0g时，碰撞动力可靠度值均接近0，表明梁体发生碰撞.

图9 主梁碰撞动力可靠度Fig.9 Pounding dynamic reliability of main girder

3 结 论

本文以反应谱输入为基础，将反应谱转化为功率谱，然后利用高效的虚拟激励法求解随机振动的动力学方程，获得结构动力响应峰值的均值和均方值，最后根据首次超越理论，得到梁体间的碰撞可靠度，得到结论如下:

(1)本文提出了基于虚拟激励法的动力碰撞可靠度计算方法，该方法在理论上继承了虚拟激励法的高效性和准确性，避免了费时的时程分析，节约计算时间，便于基于可靠度的结构设计方法在实际工程中的推广应用;

(2)快速计算不同谱强度下的相邻梁体间动力响应的峰值与其所对应的碰撞可靠度，可快速判断现有桥梁在不同强度地震作用下是否发生碰撞以及碰撞概率;

(3)针对所选择的实际桥梁结构，谱加速度值大于0.22g时，动力可靠度开始下降，表明结构发生碰撞;谱加速度值在0.22g～1.0g之间，基于泊松假定和马尔可夫假定的动力可靠度计算结果在10－1～10－3量级内差别不大，前者结果略小一点.

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