分区PID控制参数的复合整定方法

杨彬彬，单 梁，戚志东，吕 璐，钱建新

（南京理工大学 自动化学院，南京 210094）

PID控制是最早发展起来，也是迄今为止最通用的控制方法[1]。在工业控制过程中，95%以上的回路具有PID结构，而且许多高级控制都是以PID控制为基础的。PID参数的调节和优化决定了控制系统最终能达到的控制性能，所以PID参数的整定过程是控制系统设计的核心。

实际工程中，PID控制器的参数调节往往依赖技术人员的调试经验，这不仅需要熟练的技巧，往往还相当费时。随着技术理论的发展，出现了区别于传统整定方法的智能整定方法。文献[2-3]分别将模糊自整定PID算法应用在驾驶机器人油门机械腿控制和直流锅炉机组控制中，均说明了基于该方法的控制系统具有较强的鲁棒性和良好的动态性能，但模糊控制规则的确定较为困难；文献[4]在无刷直流电机控制系统中应用了基于专家整定的PID控制方法，该方法具有快速、准确的参数整定优势，但专家知识库的建立存在局限性；文献[5]将基于遗传算法的自适应PID控制应用在工业过程中，该整定方法具有全局性，但遗传算法理论上还不完善；文献[6]对基于粒子群算法的参数整定做了相应研究，指出了其并行全局搜索的特点，但其实际实现比较复杂。

基于智能算法的PID参数整定虽然能够实现，但其计算量大、适用性窄、理论尚不完善、收敛性差等问题不可忽视。自1922年美国的Nicholas Minorsky提出PID控制器的设计方法以来，PID控制器的应用及其参数整定已经经过了几十年的改进与发展，在这期间人们积累了大量的实用经验，基于此本文结合二分查找法和插值查找法提出一种复合参数整定方法，并在实际伺服系统中进行了验证。

1 伺服系统控制策略

1.1 智能分区PID控制

自整定模糊PID控制是应用广泛的一种智能PID控制方法，可以取得很好的控制效果，但其存在计算量大、过程复杂、不利于计算机控制实现等缺点。而且，一些惯量大的伺服系统，要求速度快、控制精度高，用常规PID算法不能满足系统要求，为获得更好的控制效果，本文将自整定模糊PID控制的思想与常规PID控制相结合，提出智能分区PID控制算法。

智能分区PID控制算法通过检测系统误差所处的区域，采取不同的控制策略或者控制参数，其示意图如图 1所示，θ1、θ2和 θ3是跟踪误差绝对值。

图1 智能分区PID控制算法Fig.1 Intelligent partition PID control algorithm

当系统误差处于Ⅳ区（急速区）时，采用Bang-Bang控制策略，使系统尽快向消除误差的方向运动，提高系统的快速性。

当系统误差处于Ⅲ区（减速区）时，选取Kp2较小、Kd2较大，两者在此区为恒值。减速区的作用是使电机轴角速度迅速下降，防止系统从Bang-Bang区以最大速度直接进入Ⅰ区出现大振荡，减小系统超调量，缩短调节时间。

当系统误差处于Ⅰ区（精调区）时，选取的Kp1较大、Kd1和Ki较小，三者在此区为恒值，这样的参数选择主要考虑系统在跟踪等速、正弦信号时均工作在Ⅰ区，本区控制的目标是保证系统的静止误差和稳态误差的精度要求。精调区范围的大小根据工程经验取值，一般为最大跟踪精度范围的3～5倍，以保证此区间内控制量变化平稳。

系统从减速区到精调区，由于Kp和Kd的变化，控制量上的不连续会直接表现为系统运行的不平稳。为了减少不平稳运行对机械结构的损坏，控制方案在减速区和精调区之间设置了Ⅱ区（过渡区）。此区中，Kp和Kd的值是线性变化的，Kp由减速区的Kp2线性增大到精调区的Kp1，Kd由减速区的Kd2线性减小到精调区的Kd1。

1.2 复合控制

对于Ⅰ型系统的伺服系统而言，如果PID控制器中不含积分环节，阶跃响应是无静差的，但对速度信号和正弦信号的响应都会存在稳态误差。积分环节的作用有利于消除静差，但会影响系统的稳定性，使系统过渡过程变长[7]。为了满足系统对各种信号的高精度动态跟踪要求，本文的分区PID控制选用PD控制，同时在此基础上引入了前馈控制信号，即增加前馈通道以超前的控制来补偿系统的动态滞后，且不影响原闭环系统的稳定性，共同构成复合控制。

1.3 分区PID复合控制

分区PID复合控制原理如图2所示。

图2 分区PID复合控制原理Fig.2 Block diagram of partition PID composite control

图中，分区 PID 控制量 F1（s）为

式中：θ为架位差的绝对值；CtrlConst表示 Bang-Bang区控制量；Kp和Kd分别为

可以看出，分区PID复合控制算法需要确定的参数有 Kp1、Kp2、Kd1、Kd2、Kq和 Kqq，其中 Kp2和 Kd2可以直接计算得到，将在下文中介绍。

2 复合参数整定法

复合参数整定法根据二分查找法思想整定Kp1和Kd1，根据插值查找法思想整定Kq和Kqq，最终整定出一组满足系统性能要求的控制参数。该整定法需要伺服系统的性能指标数据和实际运行的误差进行分析计算，表1中列出了系统响应阶跃、等速和正弦信号的性能指标参数和整定算法需要的误差数据。

表1 性能指标参数和实际误差数据表Tab.1 Table of performance index parametersand actual error data

2.1 基于二分查找法整定参数Kp1和Kd1

2.1.1 二分查找法

所谓的二分查找法，是根据二进制检索的思想，已知变量的最小值与最大值（从左往右变大），取中间值作为比较对象，若中间值对应的关键字与给定值相等，则查找成功；若给定值小于中间值的关键字，则在中间值左半区继续查找；否则，在右半区查找。不断重复，直到查找成功或者查找失败为止。文献[8]探讨了二分查找法是一种简单而有效的IP地址查找方法。文献[9]采用了二分查找法来调节PWM的占空比，实验结果表明，该方法具有调节次数少、电路稳定速度快的特点，是一种高效的调节方法。

2.1.2 确定4个参数的范围

伺服系统中使用的是16位D/A转换芯片，即数字控制量范围为-32768～32767，为保证系统运行的安全性，控制量限幅为-32600～32600。旋转变压器的信号经过编码后为16位的数字量，即65536对应360°，换算得1°对应182.04。对应图1中所示的分区PID算法，本文精调区上界θ1取0.5°，数字量为 90.6；过渡区上界 θ2取 3.0°，数字量为 543.6；减速区上界θ3取25.0°，数字量为4527.8。

为保证系统从Ⅳ区平稳过渡到Ⅲ区，Kp2的取值由θ3和Ⅳ区中最大控制量决定：

过渡区比例增益由减速区的Kp2线性增大到稳态跟踪区的Kp1，比例控制量为

式中：变量Dif为跟踪误差的绝对值。为满足系统稳定运行，随着跟踪误差的减小，CtrlKp的值不应出现上下波动，而且应该是变小的趋势。记x=Dif，y＝CtrlKp，将式（6）写为

式中：Kp2＜Kp1，θ2＞θ1， 根据一元二次函数的知识，该函数开口朝下，要使 y 在区间［θ1，θ2］上单调递增，其对称轴应在直线x=θ2右边，计算得到Kp1≤13.20，最终 7.20＜Kp1≤13.20。

基于本文的分区PID算法，减速区Kd较大，精调区Kd较小的原理，则取为

响应等速信号的过程可以整定一次前馈增益Kq的值，测试系统性能时选择30°/s的等速信号，据此估算Kq的最大值：

响应正弦信号的过程可以整定出二次前馈增益Kqq的值，测试系统性能时选择幅值60°，周期12.56 s的正弦信号，据此估算Kqq的最大值：

保证系统运行的安全性及参数最大可调性，Kp1、Kq和 Kqq的取值范围分别为［7.2，13.2］、［0，60］和［0，450］。

2.1.3 二分查找法整定Kp1和Kd1

二分查找法整定过程如图3所示。

图3 二分查找法整定Kp1和Kd1Fig.3 Tuning Kp11 and Kd1based on binary search algorithm

若用变量low和high分别表示Kp1取值区间的下界和上界，则 Kp1=（low+high）/2，首次设定比例系数Kp1时，由上文的计算结果取其上下界分别为low=7.2，high=13.2，系统根据初始参数跟踪阶跃指令，计算出此阶跃响应的超调，若超调较小，可以通过增加Kd1抑制超调；若超调较大，须通过减小Kp1减小超调；若无超调，计算出阶跃响应的调节时间。若调节时间少于3 s（针对90°阶跃），则整定完成；若调节时间多于3 s，要判断Kd1是否偏大，偏大则要减小Kp1和Kd1，因为Kd1能够抑制超调，但是会增加调节时间；否则，要增大Kp1，加快响应速度。如此反复，其中Kp1的增大与减小都采用二分法计算。

2.2 基于插值查找法整定参数Kq和Kqq

2.2.1插值查找法

从权重的角度看，二分查找算法是将low和high的权重固定设定为0.5（即二分），对mid值进行计算。因为固定权值的限制，使得二分查找算法存在很大的局限，也就是说任何数列（即使是有规律的等差数列）都会在查找最后一个元素时进行log2n+1次比较[10]。对于表长较大，关键字被排好序，而且呈现均匀分布特征的查找表来说，可以采用如下插值多项式对mid值进行计算：

该方法是对二分查找法的改进，称为插值查找法。每次查找均由已知的 low、high、A［Low］和 A［high］得到对应的插值公式，再由需要查找的key值计算出mid值，这就是插值查找算法的核心思想。low、high、A［low］和 A［high］是动态变化的，所对应的插值公式也是动态变化的，系统具有很强的灵活性。

2.2.2 基于插值查找法整定Kq和Kqq

插值法查找适用于关键字分布比较均匀的查找表，表2和表3分别记录了系统响应等速信号时不同Kq值对应的误差和系统响应正弦信号时不同Kqq值对应的误差。

表2 不同Kq值对应的平均误差Tab.2 Average error of different Kq

表3 不同Kqq值对应的平均误差Tab.3 Average error of different Kqq

分析表中数据可以发现：等速指令跟踪时，不同Kq值对应的平均误差分布均匀；正弦指令跟踪时，不同Kqq对应的平均误差分布均匀。因此，可以尝试通过插值查找整定控制参数，基于插值查找法思想整定Kq的流程图如图4所示。

整定出Kp1和Kd1后，让系统首先以Kq=0的值对等速信号响应，计算出相应误差；然后Kq取其允许范围内任意值进行第二次控制，计算出相应误差；接着将2个不同Kq的值及其对应的误差代入插值公式计算出新的Kq值进行下一次的跟踪控制；如此反复，直到整定出满足系统性能指标的参数。Kqq的整定过程与Kq类似，只需将系统对正弦信号响应的实际误差与指标要求一起作为参数整定的依据。

图4 插值查找法整定KqFig.4 Tuning Kqbased on interpolation search algorithm

3 复合参数整定法测试及结果

3.1 复合参数整定法实现流程

本文的参数整定方法测试与研究基于实验室搭建的伺服系统缩比台。整个系统主要由上位机、伺服控制器、电机和位置编码器等构成。伺服控制器接收上位机位置指令和编码器反馈的位置信息计算控制量，经D/A模块输出，驱动电机运动到指定的位置。同时，上位机软件可以绘出系统实时跟踪曲线和误差曲线，以便分析。

图5 复合参数整定法在实际系统中的工作流程Fig.5 Work flow chart of composite parameter tuning in actual system

复合参数整定法在实际系统实现的流程如图5所示，Adapt_Step（）函数基于二分查找法，通过多次循环可以整定出 Kp1和 Kd1，Adapt_Speed（）和Adapt_Sin（）函数均基于插值查找法，通过多次循环即可整定出Kq和Kqq。

3.2 参数Kp1和Kd1整定结果

按照二分查找法对Kp1和Kd1进行整定，得到的整定过程数据如表4所示。

表4 Kp1和Kd1整定过程数据Tab.4 Process data of Kp1and Kd1Tuning

系统按照参数 Kp1=11.7，Kp2=7.2（式（5）计算得到），Kd1=4，Kd2=8（式（8）计算得到），跟踪 90°的阶跃信号，响应曲线如图6所示，系统调节时间为2.95 s，超调为0°，稳态误差为0.011°，满足系统要求。

图6 跟踪90°阶跃响应曲线Fig.6 Response curve of 90°step signal

3.3 参数Kq和Kqq整定结果

插值查找法对Kq进行整定，得到的整定过程数据如表5所示。系统按照参数Kq=35.5跟踪30°/s的等速信号，响应曲线如图7所示，系统快速进入稳态，稳态均方差为0.03°，满足系统要求。

插值查找法对Kqq进行整定，得到的整定过程数据如表6所示。

系统参数Kqq＝247.9跟踪幅值60°、周期12.56 s的正弦信号，响应曲线如图8所示，系统快速进入稳态，稳态均方差为0.055°，满足系统要求。

表5 Kq整定过程数据Tab.5 Process data of KqTuning

图7 跟踪30°/s等速信号响应曲线Fig.7 Response curve of tracking 30°/s constant signal

表6 Kqq整定过程数据Tab.6 Process data of KqqTuning

图8 跟踪60°正弦信号响应曲线Fig.8 Response curve of tracking 60°sine signal

上文介绍了插值查找法整定Kq和Kqq的过程与结果，其实根据二分查找法也能够对Kq和Kqq进行整定，具体过程数据如表7和表8所示。

表7 Kq整定过程数据Tab.4 Process data of KqTuning

表8 Kqq整定过程数据Tab.8 Process data of KqqTuning

由表7和表8可以看出，二分查找法整定得到的参数虽然能够很好地满足系统控制要求，但与插值法整定相比需要更多次循环调节，尤其是在参数范围较大时，参数整定过程会较长。

3.5 结果分析

在实际系统中测试时，首先用基于二分查找法的参数整定方法分别对Kp1、Kd1、Kq和Kqq进行整定，结果表明基于二分查找法的整定方法能够快速整定出Kp1和Kd1，使得系统的任何阶跃响应快速且稳定，但该方法整定前馈参数Kq和Kqq的过程会随着参数范围的增加线性增长。接着，采用复合参数整定法即基于二分查找对Kp1和Kd1整定，基于插值查找法对Kq和Kqq进行整定，结果表明基于插值查找法的前馈参数整定过程简单快速，不受参数范围大小的影响，整定结果也能很好地满足系统动态跟踪要求。

本文选用复合参数整定法在实际伺服系统中做了大量测试实验，测试中将Kp1、Kd1、Kq和Kqq四个参数都整定完成作为一次成功的整定结果。由于Kp1和Kd1没有初始值的任意性，测试中对Kq和Kqq选取不一样的初始值进行约50次整定实验，其中49次都能顺利地整定出满足系统要求的控制参数，成功率为98%。同时，整定成功的49次实验，整定过程快速，循环均不超过4次。伺服系统又分别根据49组成功整定出的参数对其他信号（不同于90°的阶跃、30°/s的等速和幅值60°、周期12.56 s的正弦信号）进行跟踪响应，控制效果均满足要求。

4 结语

PID控制及其改进控制算法是最通用的控制方法，对其参数整定有着重要的实际意义。本文提出了针对分区PID加前馈控制器的复合参数整定法，该方法基于二分查找法和插值查找法思想，将系统各项指标性能作为控制器参数整定的依据，避免了传统PID参数整定方法的盲目性。该复合整定方法主要通过3个函数实现，使得该方法的移植及维护完善相当方便。基于实际系统的测试结果在表明该方法的有效性的同时，也体现了其实现简单，易被工程人员理解和掌握的特点。

随着各种智能控制算法的有机结合，各种自适应调节器参数整定方法的完善，参数的整定出最终达到全局最优，进一步提高控制系统的各项性能。

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