小题大做：思路“串成线” 题目“连成片”

李端风

摘 要：培养学生的思维能力是数学教学的目标之一，而习题教学又是提高学生思维能力的重要教学方式。本文主要讲述，教师作为学习的组织者和引导者，应该关注习题课堂上学生迸出的思维火花，抓住机会进行合理的引导、梳理，让学生认清解题思路的主线，并能由点及面，举一反三。

关键词：思维能力；习题教学；思路主线

中图分类号：G633.63文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）24-045-2

在日常的教学中，教师应该调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。教师应该重视课堂上“意外”的出现，抓住机会，合理利用学生“意外”的思路，从众多方法中确定主线，将思路“串成线”，适当补充相关例题，使题目“连成片”，从而使学生对题目有更深层次的思考和理解。下面是笔者在一次习题教学中针对一道题目的教学经历。

一、题目呈现

题目：如图，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，点E在DC上，试说明AD+BC=AB成立的理由。

（学生先独立思考、再合作交流之后，展示自己的解法）

二、解法展示

学生1：

在AB上截取线段AF，使AF=AD，连接F、E两点，如图，因为AE=AE，∠1=∠2，AF=AD，可得△ADE≌△AFE，从而得∠D=∠AFE。因为AD∥BC，所以∠D+∠C=180°，又因为∠AFE+∠BFE=180°，可得∠C=∠BFE，又已知∠3=∠4，BE=BE，可得△BFE≌△BCE，所以BF=BC，又因为AF=AD，所以AD+BC=AF+FB=AB，即AD+BC=AB。

（此种解法是本题常用的解题思路，但有学生提出新的方法）

学生2：

在∠AEB上截取∠AEF，使∠AEF=∠AED，如上图，EF交AB于点F，因为AE=AE，∠1=∠2，∠AEF=∠AED，可得△ADE≌△AFE，从而得AF=AD，∠D=∠AFE，接下来的证明与学生1相同。

教师：两位同学的证明方法主要区别在于辅助线的添加，那么还有别的方法吗？

学生3：将△ADE沿AE翻折，点D落在AB上F点处，如上图，可知△ADE≌△AFE，得AF=AD，∠D=∠AFE，下面证明过程同上。

教师：方法很好，避免了作辅助线后三角形全等的证明，而是通过翻折直接得到。

学生4：在AB上确定一点F，使DE=EF，再去证明△ADE≌△AFE。

教师：这种方法正确吗？能得到△ADE≌△AFE？

眾生：不能。

教师：为什么不能得到？

众生：按照这种方法添加辅助线，可得条件DE=EF，又已知AE=AE和∠1=∠2，但是这三个条件不能判定△ADE≌△AFE，所以思路无法继续。

学生5：可以延长AE、BC交于点F，如图所示，因为AD∥BC，所以∠1=∠F，已知∠1=∠2，可得∠F=∠2，又因为∠3=∠4，BE=BE，所以△ABE≌△FBE，进而得AB=BF，AE=EF，又因为∠1=∠F，∠AED=∠FEC，所以△ADE≌△FCE，可得AD=CF，因为AB=BF=BC+CF=BC+AD，所以AB=BC+AD，即AD+BC=AB。

教师：本解法与之前解题思路有很大的区别。之前是将线段AB分割成两段，分别证明与线段AD、BC相等，得出结论。此种方法将线段AD、BC拼接成一条线段，并证明与AB相等，得出结论，还有新的方法吗？

学生6：也可以延长BE、AD交于点F，用与上面类似方法证明。

三、解法思路——串成线

学生思考出五种解题方法，通过师生共同梳理分析，整个解题思路可以分成两条主线：（1）构造全等三角形。每种方法都添加了辅助线，并且辅助线添加之后都使图形中出现了全等三角形，再利用全等三角形推出新的条件，使解题思路得以继续；（2）分割或拼接。将AB分割成两段，分别证明与线段AD、BC相等，从而得出结论，前三种方法即分割的方法，或者将线段AD、BC拼接成一条线段，并证明与AB相等，从而得出结论，最后两种方法即拼接的方法。

四、相关题目——连成片

通过讨论分析，学生不但基本掌握解题思路，而且分析出多种解题方法，明确了解题主线。教师抓住机会继续拓展，将与原题相关联的题目继续呈现，使关联题目连成片，“升华”学生对题目的理解。

题目1：如图，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，点E在DC上，试说明∠AEB=90°。

分析：本题与原题条件相同，但证明结论不同。

题目2：如上图，已知∠1=∠2，AB=AD+BC，E是CD的中点，试说明BE是∠ABC的平分线。

分析：本题将原题结论作为已知，将已知作为结论，需要学生将原题的解题思路进行逆向推理，反过来论证，对于学生逆向思维的锻炼很有帮助，也使学生对原题有了新的、更全面的认识和理解。

五、思考

上述案例，笔者原本只作为一般题目讲解，但意外的是学生却给出了多种不同的解题方法，而笔者借势进行引导分析，跟学生一起总结本题解题思路主线，并对相关题目进行适当拓展补充，让其不仅理清了本题的解题思路，掌握多种解题方法，而且见识到与其相关联题目，锻炼了学生“举一反三”的能力。

课堂是师生共同交流和探讨的场所。在课堂上，教师除了讲授知识外，应该多听听学生的思路和想法，因为有些想法也许是我们疏忽或遗漏的，而这些想法对完善和提高我们教师的知识体系很有帮助。对于课堂上遇到的另类思路和解法，教师必须认真对待，深刻思考，善于发现亮点，长于巧妙利用，正确分析引导，往往收到意想不到的教学效果。endprint