具p-Laplace算子微分方程多点边值问题正解的存在性

杨 刘

(合肥师范学院 数学与统计学院，安徽 合肥 230061)

1 引言

本文研究如下含p-Laplacian算子常微分方程多点边值问题

(φp(x′(t)))′+f(t,x(t))=0,

0

(1.1)

(1.2)

正解的存在性，其中

φp(s)=|s|p-2s,p>1,(φp)-1=φq,1/p+1/q=1,1≤k≤s≤m-2,αi,βi∈(0,).

文中我们假设下述条件成立：

0<ξ1<ξ2<…<ξm-2<1.

(H2)f∈C([0,1]×

具p-Laplace算子的常微分方程边值问题广泛出现在多孔介质中气体的湍流理论、非牛顿流体理论等问题中，对这一问题的研究有深刻的应用背景. 借助于非线性泛函方法，对此类问题正解与多个正解的存在性的研究取得了丰富的结果[1,2,3].

Wang youyu, Ge weigao[4]利用锥拉伸锥压缩不动点定理得到了二阶多点边值问题

(φp(u′(t)))′+a(t)f(t,u(t),u′(t))

=0,t∈(0,1)

正解的存在性结论.

Xu fuyi[5]利用范数形式的锥拉伸锥定理压缩不动点定理证明了含p-Laplace算子二阶微分方程边值问题

(φp(u′(t)))′+f(t,u(t))=0,0

正解的存在性.

为了在证明过程中用到解的凹性，上述文献都假设问题的非线性项f非负.目前，关于具有变号非线性项p-Laplace算子边值问题正解的研究还比较少.本文利用双锥上不动点定理，在非线性项变号的情况下，证明边值问题(1.1,1.2)正解的存在性，推广了已有文献的结果.

设K是Banach空间X上的一个锥.设r>0是一个常数,令

Kr={x∈K:‖x‖

设α:K→R+是非负连续的增泛函,即α是连续的且对λ∈(0,1),α(λx)≤λα(x).令

K(b)={x∈K:α(x)

引理1.1[6]设K,K′是Banach空间X上的两个锥,且K′⊂K.设T:K→K和T′:K′→K′是两个全连续算子.α:K′→R+是一个非负连续的增泛函.若存在常数b>a>0使得下列条件满足:

(C1) 对x∈∂Ka,‖Tx‖

(C2) 对x∈∂Ka′,‖T′x‖b;

则算子T在K中至少有两个不动点x1,x2使得

0≤‖x1‖

2 主要结论

引理2.1[5]设f(t,x(t))∈C([0,1]×R,R),边值问题

(φp(x′(t)))′+f(t,x(t))=0,0

有唯一解

其中

K={x∈X:x(t)≥0,t∈[0,1]},K′={x∈X:u(t)∈K,x(t)在 [0,1]上是凹的}.

显然，K,K′是X中的两个锥，且K′⊂K.

记正常数

引理2.2设非负函数x(t)满足边值条件(1.2),且满足x′′(t)<0,t∈[0,1],则有x(t)在[0,1]上单调递减且

x(t)≥γ||x(t)||,t∈[0,1],

对x∈K,定义算子

对x∈K′,定义

(T′x)(t)=

其中(B)+=max{B,0}.对x∈K,定义θ:X→K,(θx)(t)=max{x(t),0}.

定理1设条件(H1),(H2)成立，且存在常数a,b,d>0使得0

(H3)f(t,x)≥0,(t,x)∈[0,1]×[d,b];

则边值问题 (1.1),(1.2)至少有两个正解并满足

0<‖x1‖

证明对u∈∂Ka,由条件(H4),

||Tx||=

则T不动点x1满足0

(Ax1)(t)<0=x1(t),t∈(t1,t2).

由条件(H2),[t1,t2]≠[0,1]. 以下分两种情况：

对u∈∂K′(δb),有δb≤u(t)≤b,由条件 (H5)，有

μ(T′(x))=

x(t)≥‖x‖>γa>d,t∈[0,1],

0<‖x1‖

3 例子

考虑如下三点边值问题

φ1.5(x′)′+f(t,x)=0,0

(4.1)

(4.2)

其中

f(t,x)=

取d=1,a=11,b=45 经计算得

f满足f(t,0)>0,t∈[0,1]且

当(t,x)∈[0,1]×[1,45]时，f(t,x)≥0;

定理1的条件均成立，边值问题(4.1),(4.2)至少存在两个对称正解且满足.

0<‖x1‖<11≤‖x2‖,μ(x2)<15.

[1] R. P. Agarwal et. al,Eigenvalues and the one-dimensionalp-Laplacian[J]. J. Math. Anal. Appl. 266(2002): 383-400.

[2] R. P. Agarwal, D. O′Regan,Twin solutions to singular Dirichlet problems, J. Math. Anal. Appl. 240 (1999) 433-445.

[3] Z. Bai, Y. Wang, W. Ge, Triple positive solutions for a class of two-point boundary value problems, Electron. J.Differential Equations 06 (2004) 1-8.

[4] Y. Wang, W. Ge, Positive solutions for multipoint boundary value problems with a one-dimensionalp-Laplacian[J]. Nonlinear Anal., 66 (2007) 1246-1256.

[5] F. Xu, Positive solutions for multipoint boundary value problems with one-dimensionalp-Laplacian operator [J]}, Appl. Math. Comput., 194 (2007) 366-380.

[6] 郭彦平，葛渭高，董士杰，具有变号非线性项的二阶三点边值问题的两个正解[J].应用数学学报，2004(3) 522-529.