数形结合思想方法*

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(萧山中学,浙江 杭州 311201)

1 考点回顾

数形结合作为重要的数学思想方法，历来是高考考查的重点内容.许多数学问题只有从“数”与“形”两个角度去理解才能更好地把握其数学本质.运用数形结合思想解题时，既要分析其代数意义，又要揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，这样才能使问题化难为易、化繁为简.

数形结合解题操作包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面：一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性.在运用“以形助数”时，需要深谙某些特定的代数结构所对应的图形意义，并熟练掌握常见图形的画法及图形变换过程；在运用“以数辅形”时，需要正确转化图形与符号两种语言，并具备较强的运算求解、逻辑思维、综合运用等能力.

2 典题剖析

2.1 以形助数

分析将函数解析式化为

y=a·b=|a|·|b|·cos=

图1

评注如果根号内部二次函数能够配方，那么可以将根式看作两点间距离来观察值域.本题别出新裁，利用向量数量积来转化问题.

( )

A.{Sn}为递增数列 B.{Sn}为递减数列

C.{S2n-1}为递增数列，{S2n}为递减数列

D.{S2n-1}为递减数列，{S2n}为递增数列

……

不难得到

bn+cn=2a1.

而BnCn长为定值a1，若固定三角形的两顶点Bn,Cn，则顶点An在以Bn,Cn为两焦点的椭圆上运动.又因为

所以点An在椭圆短轴两侧摆动并逐步趋近于短轴顶点(如图2)，故选A.

图2

评注本题中面积Sn的数量并不需要求出，关键在于利用△AnBnCn三边长满足的特定关系，结合椭圆定义,通过观察图形便能直接解决.

小结以形助数解题的关键是揭示代数式表达的几何图形含义，比如一次函数式的系数代表直线的斜率和截距，构造函数并利用函数单调性解不等式等.

2.2 以数辅形

分析由正弦定理易知C=90°，a=6,b=8.分别以CB,CA所在直线为x轴和y轴建立直角坐标系(如图3)，则C(0,0),B(6,0),A(0,8),内切圆方程为

(x-2)2+(y-2)2=4.

可设点P的坐标为(2+2cosA,2+2sinA)，则

|PA|2+|PB|2+|PC|2=80-8sinA≤88，

即点P到顶点A,B,C的距离平方和的最大值为88.

评注解析法是典型的以数辅形的方法，通过建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而将几何问题转化为代数问题.

图3 图4

例4在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是正方形BB1C1C的中心，P是△A1C1D内(包括边界)的动点，满足PM=PD，则点P轨迹的长度等于______.

评注在空间直角坐标系中,要求出线段的长度，只需求出线段的两个端点的坐标.在立体几何中，用坐标法来解决几何问题也充分体现了以数辅形的方法.

例5在四面体P-ABC中，已知PA⊥BC,PB⊥AC，求证：PC⊥AB.

故

PC⊥AB.

评注向量兼具几何特性和代数特性,引入向量来解决几何问题也体现了以数辅形的方法，坐标法的实质是向量法的特殊情形(当向量用单位正交基表示时).

小结运用代数方法不仅可对图形作出定性分析(如平行、垂直等)，也能对图形进一步作定量计算(如长度、角度、定值、最值等).

2.3 数形互助

图5

评注先将函数问题化为图形问题，再用代数计算分析图形关系，而在(-∞,-2)内有一个零点又可用指数增长的特性来直观判断.

图6

从而

即

kOD=-kEF，

同理可得

kOE=-kDF，

于是

∠DOE+∠DFE=π，

因此原点O在△DEF的外接圆上.

评注先利用图形的对称性给出猜想，再对猜想的结果进行证明，常需要用解析法(代数化)，而运用代数运算结果作判断时又要用到代数结果所反映的图形特征.

小结利用数形结合思想方法解题时，需不断根据图形观察来确定代数运算思路(以形助数)、用代数运算结果分析图形的细节特征(以数辅形)，由此在数与形的反复转化中解决问题.当然，对图形的变化规律需要有正确的把握，否则会被图形误导，产生错误(如例6，不少学生误认为只有两个零点).

3 精题集萃

1.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是

( )

A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线

( )

图7

3.如图7，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x,D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折.若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是

( )

4.在等差数列{an}中，a1∈[0,1]，a2∈[1,2]，a3∈[2,3]，则a4的取值范围为

( )

8.正△ABC顶点A在平面α内，顶点B,C在α外同一侧，D为BC的中点.若△ABC在α上的投影是以A为直角顶点的三角形，求出直线AD与平面α所成角的正弦值的范围.

9.已知过点A(0,1)和B(4,a)(其中a≠0)且与x轴相切的圆只有一个，求该圆的方程.

参考答案

1.D 2.D 3.A 4.C

图8

因此

从而

故

9.解设圆心C(m,n)，因为圆与x轴相切，所以半径r=|n|.又因为圆过点A(0,1)和B(4,a)，所以

r2=n2=m2+(n-1)2=(m-4)2+(n-a)2,

整理得

将式(1)代入式(2),消去m,得

(1-a)m2-8m+16-a+a2=0.

因为符合条件的圆只有一个，所以上述关于m的方程只有一个解，可得

解得

a=1或a=0(舍去),

故

从而圆的方程为