从一道小学奥数题到高考压轴题*

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( 泉州第五中学城东校区，福建泉州362000)

1 缘起

自从女儿上了小学后，检查作业、辅导功课成了几年来每天晚上的必修课．个中滋味，家里谁有谁知道．本学期开学第一天晚上，便遇上了下面的例1，细思良久，方得解．被女儿狠狠嘲笑了一番，于是发奋图强，进行了深入探究．

2 一道小学奥数题的解法探究

如何求解本题呢？

2.1 初数观点下的解法探究

于是

故2.035

笔者把题目晒在微信的朋友圈，各位好友踊跃互动，各路大神给出了各种建议，最后无非是解法1和下述的解法2．

即

因此

2.06

故S的整数部分为2．

2．2 高数观点下的解法探究

笔者意识到此类数列求和问题往往可以通过积分中值定理进行放缩，于是拿起《数学分析》认真学习了一下，终于得到如下解法3．

则

f(n)

即

上述不等式累加得

f(10)+f(11)+…+f(20),

即

f(10)+f(11)+…f(20),

故

3 基于“积分中值定理”的试题命制

根据上述解法3的思路，即根据积分中值定理，我们可尝试编制试题．

由于f(x)在(0,+∞)上单调递增，从而

f(n)

即

(1)

因为50-ln 26≈46.741 9，50-ln 51≈46.068 2，所以

因此，可设置问题1：

为了给问题1设置解题的台阶，我们再来设置问题2．

(2)

因此，笔者拟在问题2中设置与不等式“lnx

考虑引入参数，并包装试题，增加题干隐蔽性，从而增加试题难度．设置问题2：

问题2[2]已知函数f(x)=xlnx-ax2+ax，且f(x)≤0，求实数a的值.

综合上述两个问题，成题如下：

例2已知函数f(x)=xlnx-ax2+ax，且f(x)≤0．

1)求实数a的值；

(参考数据：ln 51≈3.931 8,ln 26≈3.258 1.)

4 高考类题寻踪

寻寻觅觅，笔者在近几年高考试题中寻得多个以此类手法命制的试题，呈现如下，与读者共赏．

例3设函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf′(x),其中x≥0,f′(x)是f(x)的导函数．

1)令g1(x)=g(x)，gn+1(x)=g(gn(x)),其中n∈N+,求gn(x)的表达式；

2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；

3)设n∈N+，比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小，并加以证明．

(2014年陕西省数学高考理科试题第21题)

例4已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0，其中a>0．

1)求a的值；

2)若对任意的x∈[0,+∞)，有f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值；

(2012年天津市数学高考理科试题第20题)

1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;

(2013年全国数学高考大纲卷理科试题第22题)

例6设n是正整数,r为正有理数．

1)求函数f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1(其中x>-1)的最小值;

求「S⎤的值．

(2013年湖北省数学高考理科试题第22题)

[1] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准[M]．北京：人民教育出版社,2003:2-3．

[2] 崔红光，杨苍洲．例谈试题的几种编制方法[J]．中小学数学,2016(11):63-64.