关注概念的生长发展 让数学抽象落地生根*——以“函数的概念”教学为例

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(路桥中学,浙江 台州 318050)

1 问题提出

《普通高中数学课程标准》指出：学习数学时需经历抽象、概括等思维过程，这些过程是数学思维能力的具体体现[1]；《中国学生发展核心素养(征求意见稿)》在数学学科核心素养中首先指出的核心素养就是数学抽象.可见，在不同时期教育教学的改革中，人们对数学抽象的关注度都很高，其重要性也就不言而喻.数学抽象存在于各种数学活动中，其中数学概念的形成尤为凸显.在数学概念形成过程中，不仅包含概念的本身内容，还包含着概念的发生发展，包含对概念的逐步抽象过程，从而进一步理解概念的本质，培养学生的数学思维能力和核心素养.

当前现实教学中，有的教师认为概念知识本身简单，直接抛出概念并指出应注意点就完成了概念教学，这种断章取义的灌入式教学，常常略去了概念的发生发展和逐步抽象过程，学生缺少知识和思维上的自我构建过程，更不能让学生感悟到概念的本质和所蕴含的数学思想，而是把一个冰冷的结论塞给了学生，学生普遍感到莫名其妙、抗拒、难懂，更不可能对数学产生兴趣并可持续地发展.如何让学生通过数学概念的学习，理解数学抽象思维，形成一定的数学抽象素养？笔者认为应做到：关注学生的知识储备及心理发展，做好学生数学抽象素养养成的基础准备；关注数学抽象的发展规律，做好数学抽象素养养成的系统工程；关注数学概念的落实与反思，做好数学抽象素养落实的巩固与提升；关注数学概念的发生与发展，做好数学抽象素养的持续养成.下面以笔者所上的一节示范课“函数的概念”为例，谈谈数学抽象养成的几点思考.

2 课堂实录片段

2.1 片段1

2.1.1 复习回顾，导入新知

师：我们在初中阶段已经学习了函数的概念，请大家回顾初中阶段所学的函数概念.

生1：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，其中x叫自变量．

师：你能谈谈对函数概念的理解吗？

生2：1)y是随着x的改变而改变的；2)y必须是唯一确定的；3)必须是一个变化的过程.

师：很好！通过这3个方面，我们来研究以下5个实例.

2.1.2 观察分析，探索新知

例1一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒.问物体的速度v(单位：米/秒)与时间t(单位：秒)有怎样的函数关系？

师：你能用初中阶段所学函数的定义解释一下吗？

生3：在物体运动过程中，物体速度随着时间每增加1秒而增加2米/秒，每个时间都有唯一速度值与之对应，并且它们的函数关系为v=2t+5.

师：你能用集合描述变量速度v与时间t的变化范围是什么吗？

生4：A={t|t≥0}，B={v|v≥5}.

师：请同学用集合与对应的语言描述变量v和t的关系.

生5：对于集合A中的任意一个数t，集合B中都有唯一确定的数v和它对应.

(对照例1，学生自主合作完成例2及教材中炮弹发射、臭氧层空洞的面积变化、恩格尔系数变化等实例讨论.)

2.2 片段2

师：分组讨论5个例子的共同点与不同点.

生6：共同点：1)有两个非空数集；2)两个数集之间有一种确定的对应关系.不同点：这种确定的对应关系可以由式子或表格或图像表示，形式不唯一.

师：我们能否用集合和对应的语言对函数进行重新定义？

生7：一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称从集合A到集合B的一个对应为从集合A到集合B的一个函数.

师：我们能用数学符号表示函数的概念吗？

生8：f：A→B；y=f(x),x∈A,y∈B.

师：结合函数的符号表示，我们一起来进一步完善函数的定义.

师生：一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B是从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.定义域：所有自变量x的值组成的集合A.值域：所有函数值f(x)组成的集合{f(x)|x∈A}[2].

2.3 片段3

2.3.1 比较反思，提高认识

思考比较今天学的函数定义与初中阶段所学的定义，它们有什么联系与区别(分组讨论)？

生：1)函数的定义更一般；2)函数的要素从单一元素对应关系到对应关系、定义域、值域三要素；3)使得对应关系更加突出；4)变量与常量的定义更趋于一般(当值域只有一个值时，可以看成一个变量,也可以看成是一个常量),但是两种定义的实质一致.

2.3.2 纵观历史,感悟抽象

介绍函数发展史：17世纪莱布尼茨提出“函数”一词；并依次由数学家贝努利、欧拉、柯西、罗巴契夫斯基、狄里克雷不断提出函数的新定义，函数定义被层层抽象概括，直到数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的函数概念.随着数学的发展，函数概念仍需拓广．

学生观点：函数的定义是两个变量从原来确定的等式关系抽象为适用范围更广、形式更多样的确定对应关系；引入集合和对应语言，使得函数定义的表述更为简洁；通过数学符号表示，使得函数的定义更加抽象，但也把函数最根本的对应关系表达出来.

3 教学思考

3.1 掌握数学抽象需要有基础准备

抽象过程就是舍弃了原有事物的许多属性，抓住事物最本质的属性，揭示事物的本质属性，这就需要能够辨别事物的各种属性中，哪些是重要属性，哪些是可以舍去的属性.数学作为一门抽象学科，对学生认清事物属性提出了更高的要求，如果不做任何铺垫和准备，课堂中草率地直接进入概念抽象与概括的过程，学生必然会难以理解和接受，更谈不上对数学概念的理解与运用，这也就需要教师进行数学概念抽象之前在数学知识和学生心理方面做充分的准备.创设所要进行数学抽象的知识环境，激活知识框架中相应的数学知识，调动相应的思维活动，为学生进一步进行数学抽象准备熟悉而又有意义的知识背景.利用熟悉的知识背景，消除学生的知识障碍和思维障碍，消除学生对未知的恐惧，延续先前的学习方式，使得学生拥有舒适而又放松的心态，从而进入良好的心理环境，为下一步的数学抽象过程做好心理上的准备.

片段1中课堂一开始，师生回顾了初中阶段所学习的函数概念，并由学生给出初中阶段对函数的理解.学生从所熟悉的函数概念出发，易于进入概念的学习环境，并且明确了本节课的研究对象，同时也消除了因对新课内容的未知而产生的紧张情绪.通过学生对初中阶段函数概念的理解，回顾函数概念的主要属性，为下一步的高度抽象过程奠定了数学知识和思维基础.回顾之后，教师并没有急于给出课本中的3个例题，而是先引入速度与杠杆等两个问题.学生对函数的认识，基本停留在具体的、贴近生活、具有实际的物理背景及具体函数解析上，因此通过前两个例子，让学生感受到“实实在在”的函数例子，让研究的对象不再那么抽象，但抽象出来的函数解析式又为函数概念的进一步抽象奠定了思维基础，这为学生的抽象思维的发展起到了承上启下的作用.通过回顾函数概念和增加两个初中函数实例，学生的发言变得很轻松，课堂氛围很活跃，激发了学生的学习兴趣，同时对概念理解的交流与函数解析式的出现以及为函数概念的进一步抽象奠定了思维基础，这在后面的函数概念形成过程中得以较好地体现.

3.2 掌握数学抽象需要有系统知识

掌握数学抽象不是一蹴而就、一气呵成的，它必须是逐步的、分层次的、缓慢的，这表明数学抽象的培养是一个系统的工程，这也要求对于数学抽象的载体——数学知识，特别是对数学概念而言，必须要理清数学概念的体系结构，理解数学概念是如何发生的，又是如何一步步发展的，每一次的发展都蕴含着怎样的数学抽象过程，摸清数学概念的发展轨迹，把握数学概念的发展脉络，抓住数学概念的发展节奏；同时也要明确当前将要学习的数学概念的上位知识和下位知识，了解当前将要学习的数学概念所在局部范围内的地位，把握好知识在整个知识体系和局部知识体系内的发展特点，理解数学抽象逐步、逐层的发展过程，领悟数学抽象的内涵，更好地掌握和运用数学抽象.数学抽象的发展过程本身也具有一个自身体系，史宁中教授认为抽象的过程分为3个层次：简约阶段、符号阶段、普适阶段[3]．这说明我们在获得数学抽象的过程中，必须要从纷繁复杂的数学问题中，从感性的、初期的数学概念中，简化原始概念，用简洁的语言清晰地表达数学概念，同时通过理性思维分析富有感性的初期数学概念，对其进行加工，使得数学概念更加具有条理性，并逐渐变得更理性.在简单而又清楚地表达数学概念之后，我们应尽可能地用符号表示数学概念，进一步提高对数学概念的抽象程度，使得数学问题的本质更加凸显、更加清晰.当然，每一次的概念抽象过程，都是为了能够准确地把握数学概念的本质，因此在每次对数学概念进一步抽象的过程中，应始终朝着概念的发展，使得其适用的范围更广、普适性更强.

片段1中增加了初中的函数概念和实例，就是让学生重新回顾初中阶段函数概念学习的过程，特别是从实例中抽象出函数的概念，其实在这个过程中，学生也经历了数学抽象的简约化、符号化和普适性的过程.在高中函数的形成过程中，片段1并没有在几个实例之后全盘给出完整的概念，而是先对概念的表述进行了简化，如利用已学的集合语言代替“一个变化过程中”，使得概念更加简洁，同时使得函数概念的应用范围更加广泛.之后，再用符号f：A→B，f(x)来表示函数概念，进一步提升了函数的抽象过程，同时也更加明确和凸显函数的核心：对应关系.最后，还增加了函数概念的发展史，以此让学生了解函数概念的发展过程，从中体会概念在发展中逐步抽象的过程，结合本节课函数概念的学习，初步掌握数学抽象的基本策略.

3.3 掌握数学抽象需要有反思感悟

知识的学习需要以学生为主体、激发学生的积极性，让学生主动参与知识的学习，自主构建自己的知识体系.其实，蕴含在数学具体知识中的数学思维学习更加需要学生主动地反思与感悟，自主地构建自己的思维体系.数学的具体内容是被人从现实世界中抽象出来的，而数学思维贯彻着整个的抽象过程，使得抽象过程能够顺利进行.可见，研究对象和研究方法的抽象使得数学思维比具体内容更加抽象.这也就需要教师在数学概念学习中，创设学生反思的情景，引导学生反思的方式，对数学概念的生产和发展过程进行反复推敲，感悟其中的数学抽象思维，形成自己对数学抽象的理解，构建自己的思维体系.

片段2中设置了思考“比较今天学的函数定义与初中阶段所学的定义，它们有什么联系与区别？”通过原有的函数概念与重新定义的函数概念的对比，引起学生对新定义的函数概念思考.反思新函数概念的形成过程，揭示函数的本质是对应关系，更加凸显了函数的核心属性，感悟数学抽象对研究对象的本质属性的取舍方式；反思新函数概念表述上的区别与联系，使得新函数概念的使用范围更广，同时又包含了原有的情况，感悟到数学抽象的普适性；反思新函数概念所包含的要素，使得数学抽象出来的结论更加地简洁、明了，感悟到数学抽象的简约化，通过这些方面对函数概念的反思与感悟，学习数学抽象的方法，强化数学抽象的能力，提升数学抽象的思维，促成数学抽象素养的养成.

4 结束语

数学抽象是一个系统的工程，需要不断地对数学研究对象，即数量关系及空间形式，进行观察、比较、综合、分析、概括，形成一次次的数学抽象结果，逐渐凸显数学本质属性，感受数学抽象的过程与方法，不断提高对数学对象的抽象程度.同时，数学抽象的落实也不单单体现在数学概念的学习过程中，在数学命题、数学推理和数学解题中也有相似的体现.只要创设好数学抽象相应的知识与心理学习环境，明确数学抽象知识与方法的系统性，注重学生的个体体验与个体理解，并及时有效地反思数学抽象的过程与方法，相信数学抽象的能力与素养一定会在学生当中落地生根.

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验稿)[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2] 课程教材研究所数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书·数学(必修1)[M]．北京：人民教育出版社，2007:16.

[3] 史宁中.数学思想概论——数量与数量关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2008.