整体建构：初中数学复习防止“碎片化”

周晓琳

摘 要：“碎片化”，本意为完整的东西破成诸多零块。在初中数学教学中，要防止教学碎片化，就是要对知识点完成编织、思维重新建构、教与学进行融合，由此实现“碎片”到“整体”转变。

关键词：初中数学；碎片；整体建构

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）23-126-2

在数学教学中，笔者常听到同行抱怨：这道题讲了无数遍，做了无数遍，还有这么多学生出错，这些学生太笨了。仔细研究老师们的抱怨、牢骚，我们不难发现初中数学教学中存在着一个普遍的问题：课堂上，学生一听就懂，但课后不会应用所学知识解决问题，经别人一点拨，却又恍然大悟。归根结底，是学生并没有真正理解。而其背后，是初中数学“复习的碎片化”作祟是重要的因素。

一、透视教学“碎片化”

“碎片化”，本意为完整的东西破成诸多零块。初中数学复习中的“碎片化”现象比比皆是：一是教学内容碎片化：教师在教学中过分强调疏通知识点，常常把教学内容“揉碎”了，对一个个知识点进行讲解、训练，造成了复习内容上的“楚河汉界”、“各自为政”以及低效“翻炒”现象。二是思维过程碎片化：不少老师怕课堂上“冷场”，问题的解决过程常常用“一问一答”的形式所替代。学生的思维是在教师铺垫好的、设计好的问题链轨道中轻松地滑过，学生为条件反射式的碎片化问答。三是学习目标碎片化：不少老师把三维学习目标割裂开来，只关注对知识点的梳理，而弱化对思维过程的体验，基本不谈情感态度价值观的融入。数学知识成了学生眼睛中的冷冰冰的、杂乱无章的碎片知识的堆积。

二、从一则学案的调整看如何从“碎片化”到“整体”构建

笔者曾经参加一次中考二模数学复习教研活动，看到如下一则学案（部分教学过程）：

课题：抛物线之“抛物线上点的不变规律”研究（原教案）

（一）自主探究

1.平面内与一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹是 。

问题：平面直角坐标系xOy中，设动点P（x，y），定点A（0，n），定直线l： y=-n，过点P作PH⊥l，垂足为H，PA=PH，则点P运动路径的解析式为 （图1）。

基本结论：抛物线上的任意一点必存在“与一定点和一条定直线距离相等”的特征。

2.定点、定直线与抛物线的关系 。

（1）如图2，P（m，n）是抛物线y=x2上任意一点，l是过点（0，-14）且与x轴平行的直线，过点P作PH⊥l，垂足为H。y轴上有一点A（0，14）。

①猜想：对于任意m，n，PA与PH的大小关系是 ；

②证明：

（2）如图3，P（m，n）是抛物线y=14x2上任意一点，l是过点（0，-1）且与x轴平行的直线，过点P作PH⊥l，垂足为H，y轴上有一点A（0，1）。

结论：对于任意m，n，PA与PH的大小关系是 ，并说明理由。

反思：①抛物线y=ax2可看作与定点A（ ）和定直线l：y= 距离相等的点的集合。②根据研究二次函数y=ax2的经验，你能说出抛物线y=ax2+k可看作与定点A（ ）和定直线l：y= 距离相等的点的集合。

（二）规律运用

1.如图4，已知M（1，2），试探究在抛物线y=x24-1上是否存在点N，使得MN+NO取得最小值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

2.如图5，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y=x24-1上滑动，求AB中点到直线l的距离的最小值。

3.如图6，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2a，2b，点A、D、G在y轴上，坐标原点O为AD的中点，抛物线y=mx2过C，F两点，连接FD并延长交抛物线于点M。

（1）用含a的代数式表示m；

（2）判断以FM为直径的圆与AB所在直线的位置关系，并说明理由。

（三）思考

1.本节课研究了哪些内容？研究的过程、方法？（在学生自我总结对的基础上，师生公共概括）

2.若需发现二次函数y=ax2+bx+c是与定点A（ ）和定直线l：y= 距离相等的点的集合你觉得如何去探究？

笔者在听课过程中，发现执教者引导学生从探究到应用，整个过程都比较流畅，但不难发现结论运用的“单一化”、“碎片化”。

“抛物线之‘抛物线上点的不变规律研究”之后，学生的收获并不大。于是，我同课异构，尝试进行了如下的修改：

课题：抛物线之“抛物线上点的不变规律”研究

（一）自主探究

1.平面內与一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹是 问题：如图7，建立平面直角坐标系xOy，设动点P（x，y），y轴上有一点A（0，14a），过点A（0，-14a）作与x轴平行直线l：y=-14a，过点P作直线PB⊥l，垂足为H，PA=PH，求y与x的函数关系式。

基本结论：抛物线上的任意一点必存在“与一定点和一条定直线距离相等”的特征。

2.y=x2这个抛物线上任一点有什么特征？y=14x2呢？

（二）规律运用

1.如图8，p（m，n）是抛物线y=14x2上任意点，A（0，1），l是过点（0，-1）且与x轴平行的直线。

（1）条件给出的是什么？对于刚才的结论你能得出什么结论？

（2）延长PA交抛物线于点M，作MN⊥l，连接NA，求∠NAH的度数。

（3）直线l与y轴交于点B，在（2）的条件下，连接MB，PB，则∠ABM与∠ABP有怎样的数量关系？请说明理由。

（4）在（2）的条件下，以PM为直径的的圆与直线l有怎样的位置关系？请说明理由。endprint

（三）思考

1.如圖9，已知抛物线y=14x2，点A（0，1），直线l过点（0，-1），且平行于x轴。若点B（1，3），试在抛物线上找一点P，使PA+PB最小，并求出P的坐标。

2.抛物线y=ax2+k，y=ax2+bx+c上的点又有何规律呢？同学们课后继续研究。

调整后教案的研究背景更加简洁，研究内容更加深入。此番调整，目的何在？

1.背景去“碎片化”：将规律应用的题2、题3合二为一。题2所涉及的知识点：结论、梯形的中位线公式、两点之间线段最短。题3所涉及的知识点：结论、梯形的中位线公式、直线与圆的位置关系。很明显知识点重复，具备背景统一的条件。

2.思维过程去“碎片化”：抛物线上的点的不变规律呈现后，设计者从抛物线上一个点增加到两个点，继而出现梯形等知识点，知识间的逻辑关系被进一步反应出来，避免了结论的独立呈现。背景统一后的第一个问题中，学生提出连接AH，△PAH是一个等腰三角形。继而由等腰+平行→平分的思维模型学生又能发现AH平分∠PAH。加了第二个问题“（2）延长PA交抛物线于点M，作MN⊥l，连接NA，求∠NAH的度数”，学生迅速通过模仿，得到AN平分∠BAP，利用整体思想，得到∠NAP=90°的结论。接下去的第（3）个问题，才是将学生学生推向了高水平的思维过程：如何分析、综合，从而联系到利用相似三角形的判定和性质解决问题。

3.体验过程去“碎片化”：获得基本结论后，原教案：“猜想：对于任意m，n，PA与PH的大小关系是 。”调整后：“条件给出的是什么？对于刚才的结论你能得出什么结论？”，后者明显突出了学生对结论使用条件的体验。原教案：“线段AB=6，端点A，B在抛物线y=x24-1上滑动。”调整后：“延长PA交抛物线于点M ”。研究对象转向两个点。

三、“整体构建”需要注意的几个问题

1.从“碎片”到“整体”是知识点的编织。皮亚杰认为思维是一种结构，而且这种结构从出生到成熟一直处于不断编织、演变和递进的过程中。每个知识点都像是丝线，教师备课时不可能把所有的丝线进行编织。要求我们必须在一个阶段内，在某一背景下把无数碎片重新整编，才能得出相对完整的拼图。

2.从“碎片”到“整体”是思维的再建构。在学生获得完整的知识结构的过程中，思维是否实现再建构才是衡量“碎片”到“统一”的标准。思考题1中，学生从原有的知识结构出发，第一反应是找点A关于抛物线的对称点，连接AB而并非过点P做l的垂线。只有突破了这个思维难点，学生对线上的点的最小值问题才算有了真正的统一。

3.从“碎片”到“整体”是师生的融合。如果我们把自身从事件中抽离，很快能发现这种情景出现的原因：教师的铺垫太多，学生的体验太少。调整后的课堂教学把问题的提出还给了学生，学生在老师的组织下相互启发，思维体验循序渐进，在问题的解决中收获成就感。

[参考文献]

[1]张卓玉.构建教育新模式[M].湖南教育出版社，2013.

[2]饶佩.从“碎片化”到“整体化”——中小学课堂的现状与应然取向[J].福建教育，2015（19）.endprint