例谈高中数学教学中如何巧设问题链

戴庆志

摘 要：在新课程实施过程中，教师通过问题的设置来开展教学目前还存在种种问题。为了解决这些问题，笔者认为可以运用设计问题链来进行教学。本文通过举例，着重探讨了高中数学教学中如何巧设问题链的方法。

关键词：数学教学；问题链；方法

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）23-093-2

一、为自然地引入新概念或新方法设计的问题链

在数学新概念或新方法的教学中，很多教师往往不注重概念或方法的形成过程，只重视概念或方法的运用，忽视数学知识的产生与形成的重要阶段，强行地将一些数学新概念或新方法灌输给学生，无从体现学生的主体性，影响了学生形成正确的数学理解，阻碍学生的能力发展。

例1 在“椭圆第一定义”的学习中，我们可以给出了以下问题链：问题一、圆的定义是怎样的？问题二、圆还可以看作满足什么条件的点的轨迹？（平面内到定点距离等于定长的点的轨迹；平面内到两定点距离的平方和等于定长的点的集合；平面内到两定点所得连线互相垂直的点的轨迹……），这个问题的设置目的是培养学生发散思维能力，激发学生的创新意识。问题三、改变上述条件，你还可以提出哪些轨迹问题？（学生提出：到两定点距离这和为定长的点的轨迹，到两定点距离之差为定长的点的轨迹，到两定点距离平方差为定长的点的轨迹……），这个问题的设置目的是培养学生的提出问题、解决问题的实践探索能力和分类讨论思想。

然后请学生研究：求到两定点距离之和等于定长的点的轨迹。（实物演示、计算器或电脑画图等）

其余问题作为研究性课题留给学生课后研究并写出小结，再集中展示成果。（培养学生的探究能力）……

二、为分散难点作铺垫而设计的问题链

数学教学过程是指导学生将新知识与原有认识结构中的有关知识相互作用，以形成发展新的认知结构的动态过程。有时为了解决一个难度较大或灵活性较强的问题，往往需要为分散难点作铺垫而设计一些循序漸进的问题链，通过一些中间问题的过渡，使中间问题的解决提供中间结果和解题方法，从而起到过渡作用。一般在给出问题的大前提后，把问题分成几问，再对各问层层加深，不断提高，而各问题间既相对独立，又具有或紧或松的联系，通过对这个问题链的探索、解决，从而实现学生新的认知结构的完善。

例2 是否存在常数a，b，使函数f（x）=x（a+b2x-1）是偶函数。在这个问题的研究中，我们可以作了如下铺垫：

问题1 判断函数f（x）=12+12x-1的奇偶性。其目的是的：引导学生在遇到困难问题时，先考虑特殊情况，让问题简化，再实现从特殊到一般的推广。

问题2 判断函数f（x）=x（12+12x-1）的奇偶性。

学生既可用函数奇偶性的定义来解决，得出是偶函数，也可设g（x）=x，h（x）=x（12+12x-1），它们都是奇函数，所以f（x）=g（x）h（x）是偶函数。

问题3 是否存在常数a，使函数f（x）=x（a+12x-1）是偶函数？

这是一个有一定难度的存在性问题，原先学生不易解决，但这里受到上题的启发，使他们看到：只要判断是否存在使函数f（x）=12+12x-1为奇函数即可。这样，问题就转化为使h（x）+h（-x）=0成立的常数a，即解方程（a+12-x-1）+（a+12x-1）=0即2a+2x1-2x+12x-1=0，即2a-1=0所以a=12。故当a=12函数f（x）=x（a+12x-1）是偶函数。

最后在研究问题4是否存在常数a，b，使函数f（x）=x（a+b2x-1）是偶函数。由于本例受上题的影响，己经不再困难。

可见，为分散难点作铺垫而设计问题链的方法是展示知识生成过程、培养学生进行科学思维的过程，也是培养学生提出问题、解决问题能力、促进数学理解的过程。

三、为巩固知识和技能而设计的问题链

在数学教学过程中，为了让学生巩固知识和技能、进一步完善认知结构，可以通过设计问题链的方法引导学生进行主动探索，而不是靠单纯的模仿练习和机械记忆。在教学过程中，教师往往可以在学生已有认知结构的基础上，可以对问题进行拓展、发散，实现提出问题一解决问题一提出新问题的过程，各问题可以从简单到复杂，环环相扣，从而实现对知识和技能的综合巩固。

例3 圆锥曲线的定义和解析法是解析几何的重要知识和重要思想，为了让学生更好的理解圆锥曲线的定义和解析法，在章节复习中，我们可以设计了以下问题链：

问题1 若在平面内，|F1F2|=2，|PF1|+|PF2|=4，求P点的轨迹方程。

问题2 若在平面内，|F1F2|=2，|PF1|+|PF2|=2，求P点的轨迹方程。

问题3 若在平面内，|F1F2|=2，|PF1|-|PF2|=1，求P点的轨迹方程。

问题4 若在平面内，|F1F2|=2，|PF1|-|PF2|=2，求P点的轨迹方程。

问题5 若在平面内，三角形PF1F2中，|F1F2|=2，|PF1|+|PF2|=4，求P点的轨迹方程。

问题6 若在平面内，三角形PF1F2中，|F1F2|=2，|PF1|-|PF2|=1，求P点的轨迹方程。

问题7 若在平面内，|F1F2|=a，|PF1|=|PF2|，求P点的轨迹方程。

……

以上的问题链，其知识覆盖整个解析几何乃至于初中几何，数学方法与思想覆盖整个高中数学。这样对问题链的研究，不但使学生对解析几何一章的内容有更深的理解，而且各方面的知识与能力也得到充分的提高。

数学在发现问题——解决问题——再发现问题的不断往复循环的过程中发展和前进，而学生的数学知识体系、认知结构在不断地发现矛盾和解决问题，寻找缺陷和补证不足中逐步完善。所以，问题链方法是一种以适应客观世界的运动变化和数学严谨逻辑性之需要为目的的辩证的动态思维方法，是全面系统展示知识生成的过程，有益于促进学生数学理解。endprint