一类试题太“另类”转化思想显“神威”

无论是纵向分析历年来的数学高考题，还是横向分析各个省份的数学高考题，无论文科还是理科高考题，线性规划问题都是一种重要的考查题型.如果将历年来各省的线性规划考题汇总在一起，就象一片片莲叶铺向天边.而在近日解题过程中，屡屡发现线性规划试题的“另类”题型.不同于常规题型：由条件直接画可行域，而且目标函数是线性的，即使是非线性的，也仅限于根据其几何意义求截距、斜率、或距离的取值范围等.而这些非常规题型乍一看好像与线性规划没有关系，它们的出现就象“映日荷花”，在常见的线性规划题的“接天莲叶”之中显的“别样红”.而我们同学见到这样的“另类”试题，往往不知所措，更谈不上掌握这类试题解题策略.这里隆重推出利用转化的思想来解此类试题，我们会看到它的“神威”！

例1（求面积）若变量x、y满足

x-y+1≤0，

x+y-3≤0，

x≥0，求点P（x+y ， 2y-x）表示的区域的面积.

图1解析请注意，本题不是求点P（x，y）表示区域的面积，如果按照思维惯性，由约束条件画出可行域，再求出可行域的面积，如图1所示，求出△ABC就认为是所求的答案，那就出错了！

点P（x+y ， 2y-x）中的横纵坐标分别有界，而且相互关联，无法直接用所给的约束条件求解.请看转化的力量：

令u=x+y，

v=2y-x，可得x=2u-v3，

y=u+v3，

再代入题中约束条件可得到：u-2v+3≤0，

u-3≤0，

2u-v≥0，

于是问题就转化为：若变量u、v满足

u-2v+3≤0，

u-3≤0，

2u-v≥0，①

求点P（u，v）表示的区域的面积.

图2如图2所示，只需根据①中约束条件，作出可行域，求出△DEF的面积即可.真可谓峰回路转，柳暗花明！

例2（求距离）已知空间直角坐标系O-xyz中有一点A（-1，-1，2） ， 点B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点，求A、B两点间的最短距离.

解析此题运用空间解析几何知识，或者运用立体几何作图均可求解，但并不简洁.如用两点间距离公式：已知A（-1，-1，2），B（x，y，0），则|AB|=（x+1）2+（y+1）2+4，其中x+y=1 .

可以转化为先求：已知x+y=1，求z=（x+1）2+（y+1）2的最小值，再求出|AB|的最小值.这又转化到了平面直角坐标系中常规的线性规划问题（只需求点-1，-1到直线x+y=1的距离即可解决问题），从而化未知为已知，问题迎刃而解！

例3（求取值范围）已知α∈[0，π2]，β∈[0，π2]，且|sin α-sin β|≤12，

求t=sin β+1sin α+1的取值范围.

解析从表象上看，此题似乎是求三角函数值范围问题，但由于α，β之间关系不明确，仅靠自己的取值范围肯定不行，这给求解带来了不少困难！那该怎么办呢？

事实上，只需令x=sin α，

y=sin β，问题就转化为：图3已知

0≤x≤1，

0≤y≤1，

-12≤x-y≤12，求t=y+1x+1的范围，问题水落石出！如图3所示，作出可行域（六边形OABCDE及其内部），可以用常规的线性规划方法（目标函数的几何意义）求之.

令Px，y为可行域内任意一点，令F-1，-1，直线PF的斜率为kPF，则易知t=y+1x+1=kPF，由图3可知，kAF≤kPF≤kEF，又易求kAF=23，kEF=32，所以23≤kPF≤32，即t=y+1x+1的范围为23，32.

例4（求最值）已知实数x、y满足2x2+4xy+2y2+x2y2≤9，求u=22（x+y）+xy的最大值，最小值.

解析从条件及目标函数来看，怎么着都与线性规划扯不上边.但是别急，如果我们对条件和目标函数进行适当的转化呢？

2x2+4xy+2y2+x2y2≤9可化为2（x+y）2+（xy）2≤9.

令a=2（x+y）

b=xy，条件转化为a2+b2≤9，而目标函数则化为u=2a+b，这样利用常規的方法可求u=2a+b的最大值和最小值.如图4所示.

图4当直线l：2a+b-u=0（u为常数）与圆a2+b2=9相切时可求得u的最值，此时由圆心O0，0到直线l：2a+b-u=0的距离等于半径得-u4+1=3，故u=±35.所以u=2a+b的最大值和最小值分别为35，-35.

大功告成！顺利完成了任务.对吗？

请注意条件函数中的一个隐藏条件：a2=2（x+y）2≥8xy=8b即b≤18a2，因此原问题应转化为：已知a2+b2≤9

b≤18a2，求u=2a+b的取值范围.

图5如图5所示，抛物线b=18a2将圆a2+b2=9分成上下两部分，可行域应为下面一部分.从图5中可看出，u=2a+b的最小值为-35（A为最优解），与图4中相同，不受可行域变化的影响.但是，u=2a+b的最大值因为可行域的变化而发生了变化，B点（切点）不再是最优解，最优解应该是C点（抛物线b=18a2与圆a2+b2=9的一个交点）.（通过求坐标可判断B点在C点的上方）

由方程组b=18a2，

a2+b2=9，解得a=±22，

b=1，

故C点坐标为22，1.

因此，u=2a+b的最大值为1+42.

真是防不胜防啊！不然怎么说数学使人周密呢！

例5（求取值范围）已知正数a、b、c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则ba的取值范围是.endprint

解析已知条件可化为：3a+b≥5c，

a+b≤4c，

clnbc≥a+clnc，

进一步化为：3·ac+bc≥5，

ac+bc≤4，

bc≥eac，

在这里设ac=x，bc=y，

则原题可化为：已知x、y满足3x+y≥5，

x+y≤a，

y≥ex，

x>0，y>0，

求yx的取值范围.（成为常规题型）

如图6所示，作出可行域（两条直线y=5-3x，y=4-x与一条曲线y=ex围成的平面区域）.

图6令Px，y为可行域内任意一點.直线OP的斜率为kOP=yx.因此问题转化为求直线OP的斜率的范围.

显然，当直线OP与曲线y=ex相切时，直线OP的斜率取得最小值.令切点为Px0，y0，则切线OP的斜率为ex0=y0x0=ex0x0，从而解得x0=1.故直线OP的斜率最小值为e，即yx的最小值为e.

当点Px，y落在C点时，直线OP的斜率取得最大值.

此时有y=4-x，

y=5-3x，5y=20-5x，

4y=20-12x，y=7xyx=7.（这样计算简单些）从而直线OP的斜率最大值为7，即yx的最大值为7.所以yx的取值范围为[e，7]，即ba的取值范围是[e，7].结束语

通过对上述“映日荷花”的赏析，使我们认识到，一些不同于常规的线性规划试题，虽然太“另类”，但只要我们能合理转化，就可以化难为易，化繁为简.真可谓转化思想显“神威”！

俗话说，没有思想就没有高立意.因为数学知识的教学只是信息的传递，而数学思想方法的教学，才能使学生形成观点和技能，数学学习的根本目的，就在于掌握这种具有普遍意义和广泛迁移价值的策略性知识.要学生真正从思想深处接受、领悟并掌握一种数学方法，必须有一个体验、感悟、浸润的过程.

在我们的教学中，要更多地关注学生对数学思想方法感悟的充分性与全面性，要创设大量的机会给学生思考、探究、总结、提炼，让数学思想方法在教学中能真正地落到实处[1].

参考文献

[1]陈晓明.数学思想方法在向量中的应用教学举例[J].中小学数学，2017（3）：7.

作者简介陈晓明（1971—），男，安徽广德人，安徽省宁国市宁国中学教师，硕士学位，中高职称.近年来曾有多篇论文发表.endprint