Bezier曲线的识别模型

周素静，杨 慧,廖淑华,郭文秀

(郑州铁路职业技术学院，河南 郑州 451460)

曲线的构造和表示是计算机辅助设计中的基本问题，在产品的外形设计中具有非常重要的应用。Bezier曲线是计算机绘图中最常用的一种曲线，是图形造型运用得最多的基本线条之一。

设P0、P1、…、Pn是Bezier曲线的控制点，则其参数方程为

其中

该参数方程所确定的曲线称为n次Bezier曲线。Bezier曲线的起点和终点同控制多边形的起点和终点重合，即Bk,n(0)=P0，Bk,n(n)=Pn。

1 问题的提出

根据Bezier曲线的定义和性质建立Bezier曲线的参数方程是科学研究和计算机辅助设计中常遇到的问题。图1中给出了一条Bezier曲线的图形，建立数学模型研究以下问题：

(1)自动检测并确定该Bezier曲线上点的实际坐标。

(2)求该Bezier曲线的参数方程。

图1 Bezier曲线

2 模型的建立与求解

设x、y分别表示平面上点的实际坐标，x’、y’表示平面上点的像素坐标；P0(x0,y0)、P1(x1,y1)、…、Pn(xn,yn)表示Bezier曲线的n个控制点；Q1(x(t1),y(t1))、Q2(x(t2),y(t2))、…、Qn(x(tn),y(tn))表示Bezier曲线上的点。

2.1 问题(1)的模型建立与求解

2.1.1 图1中点的像素坐标与实际坐标之间的转换公式

根据题意，我们需要从图1中Bezier曲线上取点的

实际坐标，而利用Matlab中函数ginput取出的是点的像素坐标，这就要找到平面内点的像素坐标与实际坐标的换算关系。

首先，在图1中取水平线上两点，实际坐标为A(0，-15)和B(10，-15)，在y轴取两点，实际坐标为O(0,0)和C(0,10)。然后，利用imread函数将图1读入Matlab中，再利用ginput函数取出四个点的像素坐标，分别为A(134,464),B(213,464),O(134,345),C(134,265)。令

则a，b为像素坐标转化为实际坐标的比例系数。

坐标原点的像素坐标为O(134，345)，设原图中曲线上任一点D的像素坐标为(x’,y’)，实际坐标为(x,y)，则有它们之间的换算公式为

(1)

2.1.2 从图1中取点并求它们的实际坐标

利用ginput函数编程取出图1中Bezier曲线上20个点的像素坐标，根据平面内点像素坐标与实际坐标之间的换算公式(1)可得所取曲线上20个点的实际坐标，如表1所示。

表1 Bezier曲线上20个点的实际坐标

序号11121314151617181920x55.3260.2565.5770.2574.8180.3883.1686.9688.2390.38y16.3816.0015.0013.5011.758.757.135.004.133.13

2.2 问题(2)的模型建立与求解

根据Bezier曲线的定义和性质，控制点的个数决定Bezier曲线的次数，控制点的位置决定Bezier曲线的形状。从图1可以看出，图中的Bezier曲线可能是由三个控制点生成的(如图2所示)。

图2 由三个控制点生成的Bezier曲线

设三个控制点的坐标为P0(x0,y0)、P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，Q(x,y)为Bezier曲线上任意点。

当Bezier曲线是由三个控制点P0、P1和P2生成时，其参数方程为

B(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2,

即

(2)

其中t∈[0,1]为参数。

要求Bezier曲线的参数方程就要根据问题(1)中取出的曲线上点的实际坐标进行数据拟合，拟合出P0、P1和P2点的坐标，从而求出Bezier曲线的参数方程。

设Q1(x(t1),y(t1))、Q2(x(t2),y(t2))、…、Qn(x(tn),y(tn))为Bezier曲线上的n个点，其中Q1=P0,Qn=P2。由于测量取点时的误差，对于曲线上的同一个点，使得横坐标和纵坐标

x(t)=(1-t)2x0+2t(1-t)x1+t2x2，

y(t)=(1-t)2y0+2t(1-t)y1+t2y2

成立的参数t可能不同。设使得第i个点的实际坐标满足参数方程的参数分别为t1(i)和t2(i)(i=1,2,…,n)，即

为了通过这n个点拟合出Bezier曲线的参数方程，我们只需使这n个点对应的参数t1(i)和t2(i)的平方和最小即可。根据Bezier曲线的定义和性质，可以得到：以控制点坐标x0、y0、x1、y1、x2、y2和参数t1(i)、t2(i)为优化变量，以t1(i)和t2(i)的平方和最小为目标函数的最优化模型为

s.t.

其中x(t1(i))、y(t2(i))(i=1,2,…,n)为曲线上所取n个点的坐标(如表1所示)，是已知数据。

将表1中点的坐标代入模型，并利用Lingo编程求解最优化模型，可得三个控制点的坐标如下表2所示。

表2 Bezier曲线的控制点坐标

由表2可知，图1中的Bezier曲线可以认为由三个控制点为P0(10,3)、P1(90.253 2,29.794 6)、P1(90.379 7,3)所生成的。将三个控制点的坐标代入式(2)，可得Bezier曲线的参数方程为

Q(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2，

即

3 模型结果的分析与检验

建立模型求解问题过程中，给出了用Matlab中的ginput函数获取曲线上点的像素坐标并转化为实际坐标的方法，这一方法对于图形分析有重要意义。

以参数误差平方和最小作为目标函数建立最优化模型，解决了参数方程下曲线方程的拟合问题，求出的曲线与原曲线拟合度较好。该模型可以应用于其他曲线图像的分析，给出的最优化模型求解是参数方程下曲线拟合的一种有益的探索。

[1]姜启源.数学模型,3版[M].北京：高等教育出版社，1999.

[2]韩中庚.数学建模方法及其应用,2版[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]周天祥,杨勋年,汪国昭.快速绘制Bzier曲线[J].计算机辅助设计与图形学学报,2002,14(6):501-504.