全概率公式案例式教学设计

李娜+王丹龄

【摘要】以案例式教学作为全概率公式的主要教学手段，选取贴近实际生活的案例——抽签问题作为教学切入点，激发学生的学习兴趣，并引导学生从问题的实际背景出发，发现解决问题的关键.经过课堂教學实践，案例式教学能够加深学生对全概率公式的理解，开阔学生的视野，并将全概率公式灵活应用于其他实际问题，如敏感性问题等.

【关键词】全概率公式；案例式教学；抽签问题；敏感问题调查

一、引 言

全概率公式是概率论这门课程中非常重要的内容之一，是加法公式和乘法公式的综合运用.它具有广泛的实际应用价值，在医疗诊断、投资、保险等不确定问题中有着重要的应用.本节要求学生理解和掌握划分的定义和几何解释，能够利用条件概率的定义及乘法公式推导出全概率公式，重点掌握全概率公式的产生背景及其本质，能够应用公式正确地进行运算，并学会用全概率公式解决实际问题.

在教学设计中，首先从有趣的抽签问题引出全概率公式，进而通过概念的讲解、敏感问题调查的设计，让学生充分认识到全概率公式的重要性和应用的广泛性，引导学生运用所学知识去观察生活，培养学生由浅入深地分析问题、解决问题的思维方式.特别地，在教学过程中融入新的教学手段，通过Matlab软件模拟将各种分析和应用直观呈现出来，加深学生对知识点的理解，提高学生的学习兴趣.

二、抽签问题

10张同样的卡片只有2张上面印有“迪士尼门票”，其余的什么也没写，将其洗匀后，做“无放回”地依次抽取.问：后抽的人比先抽的人吃亏吗？

【问题分析】首先提问学生，第一个人抽中的概率是多少？第二个人抽中的概率呢？

第一个人抽中的概率为15，第二个人抽中的概率就有回答29或19的，还有回答和第一个人抽中的概率一样的.带着学生给出的答案，分析第二个人抽中的概率需要分成第一个人抽中和第一个人没抽中两种情况分别考虑，这也就是这节内容的重点——全概率公式.

通过图解法让学生理解全概率公式的核心思想，“化整为零，各个击破”.用样本空间的一个划分将事件A分成一系列积事件的和事件，再逐个计算积事件的概率最后求和得到A的概率.

四、模拟结果

计算机模拟是为学生展示分析问题的另一个直观有效的方式.如图2所示，图中左上图：模拟了1 000次试验结果，每一纵列是一次试验结果；右上图：为一次试验的模拟图，红色代表没有抽中，绿色代表抽中；右下图：为10中2的理论概率值；左下图：每个人在1 000次模拟中抽中的累计次数和累计频率.

通过程序模拟既可以看到抽签的公平性，又可以加深学生对概率和频率关系的理解，即当试验次数很多时，频率与概率之间是非常接近的.

五、敏感问题调查

敏感问题是指涉及个人隐私的问题以及大多数人认为不便于在公开场合表态或陈述的问题，如私人财产、吸毒、作弊等.进行这类问题调查时，如不注意方式、措辞等，就会使拒答率相当高，或者得不到真实的答案，从而导致调查失败.1965年Warner提出了一种随机化回答的方法.其设计原则是根据敏感性特征设计两个相互对立的问题，让被调查者按预定的概率从中选择一个回答，调查者无权过问被调查者究竟回答的是哪一个问题，从而起到了为被调查者保密的效果.

为调查某次考试的作弊情况，给被访者设定两个问题：

问题一：你在本次考试中作弊了吗？

问题二：你在本次考试中没有作弊吗？

被访者通过随机抽签来回答问题一或者问题二.如果被访者真的作弊了，抽中问题一则答“是”，抽中问题二则答“否”，抽签的结果只有自己知道，他只需回答“是”或“否”，而访问者并不知道回答的是问题一还是问题二，所以被访者可以没有顾虑地真实回答.

假设被访者回答问题一的概率为0.7，所有收回的答案中回答“是”的概率是0.31，试估计此次考试的作弊率.

从本例可以看出，Warner提出的随机化回答的方法就是利用全概率的思想，打消被访者的顾虑真实回答问题，调查者通过计算就能够得到真实的数据.

六、结 论

案例式教学设计符合学生的认知规律和实际水平，通过对实例的分析，培养学生自觉主动地运用课堂上学到的知识去解决实际生活中遇到的问题，真正做到学以致用.如，在日常生活中经常遇到的抽签问题，可通过Matlab模拟抽签结果并分析感性认识的误区.教学过程中由动画展示、计算机仿真模拟、现实数据检验等营造出的轻松活跃的教学氛围有效地激发了学生的学习兴趣，有助于学生掌握本节课的学习内容.

【参考文献】

[1]范玉妹，王萍，汪飞星，李娜.概率论与数理统计[M].第2版.北京：机械工业出版社，2012.

[2]徐群芳.《概率论与数理统计》课堂教学的探索与实践[J].大学数学，2010（1）：10-13

[3]陈学慧，朱婧，王荣明.概率公式教学研究与应用探索[J].大学数学，2016（3）：86-89.endprint