在线课程中高等数学经济应用教学分析

王晓明

摘要：针对目前高校高等数学教学中存在的重理论，轻应用的现象，利用高等数学在线课程，在在线课程中向经管类专业的学生介绍高等数学的经济应用，主要内容有：微分学在经济学中的应用，积分学在经济学中的应用。对于经济管理类专业的学生来讲，这是对高等数学教学的重要补充，有助于学生深刻体会到数学和经济学的结合，以及经济学是一门逻辑思维严谨的学科。

关键词：微积分；边际分析；弹性分析；最优化；无理数e

中图分类号：G4文献标识码：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2018.02.074

高等数学作为理工农经类学生的必修基础课，具有课堂大，时间长，进度快的特点，课程内容十分丰富，但学时有限，所以我们往往在紧锣密鼓地讲重点、难点、疑点、概念、思路的时候，忽略了它的应用，忽略了它对后继专业课的基础作用。对于经管类学生而言，能够在各种各样的数学活动中了解、体验数学在经济学中的应用，体会到数学的乐趣与神奇，在某种意义上来讲，比学习抽象的定理证明更为重要。基于在线课程的混合式教学模式，有效的弥补了传统课堂的这一不足。为此我们在在线课程中增加了经济应用板块，学生通过这个板块的学习，深刻体会到数学和经济学的结合，给经济学的发展带来了很大的进步，让经济学成为一门逻辑思维严谨的学科，给经济学的研究方法带来质的飞跃，成为经济学分析方法上的里程碑。

1微分学在经济学中的应用

微分学在经济学中的应用主要包含边际分析、弹性分析以及最优化问题。

在经济学中， 常常会用到平均变化率和边际量，这些都是用来表示变化率的。边际量表示的是当自变量发生一个单位的变化时，因变量究竟变化了多少。从数学意义上讲， 如果我们考虑的经济函数是连读的， 则边际量表示的是当自变量的改变量趋于零时，因变量的对应改变量与自变量改变量的比值的极限， 假设函数为y=f（x），那么边际量就是导函数y′=f′（x）。对边际量的研究主要包括两个内容——边际成本和边际收入。在经济学中，我们把产量增加一个单位时，所增加的总成本称为边际成本，边际成本就是总成本函数C=C（x）在定点处的导数C′=C′（x），其中变量x为产量。其经济学意义为：在某一产量水平上的边际成本，指的是相应的总成本函数图像在该点处切线的斜率，也就是总成本函数在该产量处的导数。在实际经营管理中，边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算。

类似地，我们定义边际收入为R′（x），也就是说边际收入为总收入函数R（x）关于销售量x的导数，其经济含义是：当销售量为x时，销售量增加一个单位（即Δx=1），总收入增加了多少。所以边际收入约等于收入函数的变化率。

在经济分析中，边际分析研究的是函数的绝对改变量和绝对变化率，然而很多时候，我们需要研究一个变量对另一个变量的相对变化情况。而弹性这个概念，就是用来描述当自变量发生变化时，因变量的反应程度，详细来说，就是自变量变化了1%时，因变量会变化多少个百分比。对函数y=f（x），函数的相对改变量Δyy=f（x+Δx）-f（x）f（x）与自变量的相对改变量Δxx之比ΔyyΔxx，称为函数f（x）在x与x+Δx两点间的弹性。而这个比值的极限limΔx→0ΔyyΔxx称为函数f（x）在x处的弹性。

如果函数y=f（x）为需求函数Q=f（P），这里P表示产品的价格，则可以得到需求弹性η=η（P）=limΔP→0ΔQQΔPP=limΔP→0ΔQΔP·PQ=P·f′（P）f（P），需求弹性的经济学意义是，近似地表示价格当为P时，价格变动1%，需求量变化η%，它反映产品需求量对价格变动反应的强烈程度。

利用导数求函数的最大最小值是高等数学中的一个重要内容，而利用这种求最值的方法，可以解决很对经济学中最优化的问题，比如成本最小化问题，利润最大化问题，利用需求弹性分析总收益的变化等。例如假设需求函数为Q=f（P），则总收益为

R=P·Q=P·f（P）

由R′=f（P）+P·f′（P）=f（P）1+f′（P）Pf（P）=f（P）（1+η），知若|η|<1，那么需求的变动幅度要小于价格的变动幅度；若|η|>1，那么需求的变动幅度大于价格的变动幅度；若|η|=1，那么需求的变动幅度等于价格的变动幅度，此时，R′=0，取得最大收益。

2积分学在经济学中的应用

作为导数（微分）的逆运算，如果我们已知边际函数F′（x），通过不定积分运算，可求出原经济函数F（x）=∫F′（x）dx ，其中常數C可由经济函数的具体条件确定。我们也可以利用牛顿莱布尼兹公式

∫x0F′（x）dx=F（x）-F（0）

求得原经济函数

F（x）=∫x0F′（t）dt+F（0）

并可由此求原经济函数从a到b的变动值

ΔF=F（b）-F（a）=∫baF′（x）dx

比如说成本函数C（x）=∫x0C′（t）dt+C0，其中C′（x）为边际成本，C0为固定成本。收入函数R（x）=∫x0R′（t）dt，因为R（0）=0。利润函数

L（x）=R（x）-C（x）=∫x0R′（t）-C′（t）dt-C0=∫x0L′（t）dt-C0

其中∫x0L′（t）dt称为产销量为x时的毛利，毛利减去固定成本即为纯利。

3无理数e在经济学中的应用

3.1经济学中关于无理数e的计算及函数Aert的应用

从数学上看，数e等于极限limx→∞1+1xx。在经济学中，它可以解释成复利的一种具体计算过程的结果。

假设张某有本金1美元，一个银行年利率为100%（每年1美元利息）。若利息按复利每年计算一次，那么第一年末资产价值为2美元，我们用P（1）表示此值，其中括号里的数字代表一年内计算复利的次数。endprint

P（1）=本金×（1+利息率）=1×（1+100%）=2

但是，如果半年计算一次复利，则六个月末利息等于本金的50%（本金的一半）。因此在第二个六月期间，本金为1.5美元，此期间利息按1.5美元的50%计算。所以年末资产可用如下公式表示：

P（2）=（1+50%）×（1+50%）=（1+50%）2

以此类推，我们可以用表达式来表示它们的关系：

P（m）=1+1mm

其中m表示1年内进行复利计算的次数。

当利息在一年内连续按复利计算时，就是说当m取无穷大时，资产价值将以“利滚利”的方式增长，在一年末变成：

limm→∞P（m）=limm→∞1+1mm=e

因此，如果按年利率100%连续计算复利，那么无理数e可以解释为1美元本金到年底的价值（其中应要注意：100%的利息率仅是名义利息率，若一年后1美元变成e美元，那么该情况下的实际利率约为每年172%）。

假设初始本金为A美元，名义利息率为r，投资t年，复利计算公式将变为：

P（m）=A1+rmmt

不难得出，连续复利计算方法求得的资产价值为P=limm→∞P（m）=Aert与前面的预期相同（其中应要注意的是t是一个离散的变量）。

3.2无理数e和银行业

在今天的银行业里， 无理数e对银行家们是一个非常重要且不可或缺的数。到底它与银行业有什么样的关系呢？起到什么样的重要作用呢？我们不妨看银行的储存利息的问题：

正如刚才的分析，如果一家银行的年利率是1（即100%），那么半年的利率就是50%；相对的一个月的利率就是……更具体一点就是倘若有位客户储户在银行存1元钱，如果他一年存两次，那么他就多得0.25元的利息，如果一年存三次，那么他就多得0.37元的利息……这样下去你是不是会发现，存储户只要多存几次多几次手续，那么他就可以多得很多利息了，这样下去那些多得的利息钱从哪儿出呢？

通过上面的案例分析，是不是也让你感觉到在1年的时间内，存取款越頻繁，就会得到越多的利息呢？事实真的是这样吗？咱们一起来分析一下，如果存取款的次数是可以无限增加的，那是不是哪怕如果只有一元钱，但是在1年的时间里，也许他可能就会增加到1万元钱？如果有这样的事情，是每个人都十分期待的发生的！但是，实际情况并不是这样的，当存取款的次数很少时，每多存取一次，增加的利息收益还是很好的，然而，随着存取次数的不断增加，我们会发现，总利息增加的幅度越来越小，并且无法跨过无理数e这个数值。这就意味着，即使一个人存取次数为无限多，1年后，1元会变成大概2.7183元，这一年的总利息最多为1.7183元。

虽然不能让1元钱在一年里变成10000元，但储户们为了得到最大的利益想，仍然会不断地多次存入取出，这样造成储蓄的混乱。所以，虽然从直觉上我们认为利率与存期成正比，但实际操作中，它却存在着重大的缺陷。事实上，理想的储蓄与中国人民银行制定的下表定期存款利率相违背。

表1定期存款利率

存期3个月6个月1年

利率（%）0.4951.082.25

根据以上数据显示可知，1年的利率2.25是6个月的利率1.08的2倍多一点，6个月的利率1.08又是3个月的利率0.495的2倍多一点。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.endprint