导数的应用举例

邓艳

摘要：导数是高等数学中的一个重要概念，本文通过实际例题说明导数在证明不等式，求极值，求单调区间以及求解几何问题中的应用.

关键词：导数；不等式；极值；单调区间；极限

导数在数学学习和生活中有着十分广泛的应用，能够优化解决生活中的几何问题和实际问题，本文通过具体例子说明导数在各方面的应用.

1.导数在证明不等式中的应用

例1 设 在 上可微，若 为 内一定点 ， ，证明在 上总成立 .

证明：当 时，则 ，由 ，得 ， ，从而 在 内单调下降，所以 ， .当 ，有 ，再由 ，可得 因此 在 上单调上升，从而 ， .综上所述，于是可得 .

例2 已知 ，求证： .

证明 当 时， 则要证明的不等式等价于 令 ，则 而 ，故 ，从而 .

2.导数在求函数极（最）值中的应用

例3 设 ， 在 内的驻点为 ，问 为何值时 最小？并求出最小值.

解 由 得唯一驻点 考察函数 在 时的最小值.令 的唯一驻点 当时，当 时， ；当 时， 因此 为极小值，也是最小值.

3.导数在求单调区间中的应用

例4 设函数

（1）求函数 的单调区间

（2）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；

（3）若关于 的方程 在区间 上恰好有两个相异的实根，

求实数 的取值范围.

解

（1）令 得 或 所以 的

单调增区间为 和

令 得 或 所以 的单调减区间为 和

（2）令 得 或 （舍去）由（1）知 连续又因为 ， ， ，所以当 时 的最大值为 .

于是可得： 恒成立时， .

（3）原题可以转化为：方程 在區间 上恰好有两个相异的实根.令 ，则 ，令 考察函数解得 ，当 时， 所以 在 单调递减，当 时 ，所以 在 单调递增.

因为 在 和点 处连续，又因为 ， ， 且 ，所以 的最大值是1，最小值 .

4.导数在几何中的应用

例5 曲线 的切线与 轴和 轴围成一个图形，记切点的横坐标是 ，试求切线方程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷时，该面积的变化趋势如何？

解，由 得 ， 则切点 处的切线方程为：

，切线与 轴和 的交点分别为 ， ：于是面积 ，当切点按 轴正向沿曲线趋于无穷远时，有 ，当切点按 轴正方向沿曲线趋于无穷远处时，有 .

我们通过各种例子说明导数在数学中的重要作用，通过导数的学习，使学生学会以动态的，变化的观点来研究问题.

参考文献：

[1]同济大学数学系编.高等数学第七版[M].北京：高等教育出版社出版，2014.

[2]彭辉.高等数学辅导[M].山东科学技术出版社，2012.

[3]钱吉林.数学分析题解精粹[M].崇文书局，2003.8.

[4]李永乐，王武安，季文铎. 数学复习全书[M].北京：国家行政学院出版社，2015.