活用分类思想，妙解函数试题

黄璐

[摘  要] 高考真题对学生的学习备考有借鉴作用，透徹分析数学真题可以有效拓展解题思路，其中函数是高考的必考题型，解题时合理地选用思想方法可以起到事半功倍的效果，其中分类讨论是解决函数问题较为常用的方法，可有效降低解题难度，同时多种思想方法也可以结合使用，本文将结合高考真题详细讲解分类讨论在函数问题中的使用过程.

[关键词] 函数;分类讨论;数形;真题

函数是高考考查的重点知识，主要考查学生的综合能力，其中思想方法的选取是考查的重点，思想方法选取不当，会造成思维混乱，解题受阻，分析历年考题，合理选取思想方法是解答函数问题的关键.

真题呈现

（2017年全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=ax2-ax-xlnx，且f（x）≥0.

（1）求a;

（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e-2<f（x0）<2-2.

该题目为高考常见的函数问题，在求解过程中通过构造函数，利用导函数来分析函数的性质，将函数的零点作为分类讨论的切入点，从而达到了快速准确求解的效果. 分类讨论是研究函数问题最为有效的思想方法，合理地选取分类标准是解决问题的关键.

考题衔接，深入探究

函数问题对学生的逻辑推理要求较高，解法也相对灵活，如不能合理地选择切入点则很容易造成错解、漏解，因此合理选取思想方法则显得尤为重要，上述考题中采用分类讨论思想很好地将问题简化，在历年考题中也有使用分类讨论思想解函数不等式的问题.

（2016年天津卷）已知函数f（x）=（x-1）3-ax-b，x∈R，其中a，b∈R.

（1）求f（x）的单调区间;（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3;

解决上述问题的核心是定位a值的分界点，然后以此为依据进行分类讨论，最终通过比较端点函数值与极值的大小来解决问题，该思想方法简化了思路，实现分析的全面性、条理性，对于锻炼学生思维的严谨性具有极大帮助.

拓展研究，方法综合

分类讨论思想也可以与数形结合思想相配合来研究函数问题，合理利用图像可以确定讨论标准，找准讨论方向，为下一步的分类讨论打下基础.

（1）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线;（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x>0），讨论h（x）零点的个数.

解析：（1）略.

（2）绘制函数g（x）的图像，如图1，可知x>1时，g（x）<0;当x=1时，g（x）=0;当0<x<1时，g（x）>0，结合h（x）的定义，可分以下三种情况讨论：

当x>1时，h（x）=min{f（x），g（x）}≤g（x）<0，h（x）在（1，+∞）内无零点;

本题目难度较大，求解过程中充分利用了函数图像的特点，结合零点的几何意义进行分类讨论，从而降低了解题的难度，正是对图像的分析为分类讨论找到了切入点，是典型的数形结合与分类讨论配合使用的解法，该思路对于学生的解题有着启示作用.

总之，解决数学问题首先需要扎实的基础知识和基本技能，同时有效利用思想方法则可以辅助解题，分类讨论是求解函数问题行之有效的思想方法，合理利用则可以使思路清晰，过程流畅，保证求解的严谨性.另外思想方法并不是单一使用的过程，将数形结合与分类讨论配合使用，则可以使抽象问题具体化，准确定位分类标准，快速找到讨论的切入点，实现解题的高效性.