高中数学思维突破的对策方法研究

王芝

[摘  要] 高中数学对思维的要求很高，思维突破的途径需要研究其原因，需要根据思维障碍原因“对症下药”. 研究表明，对数学以及数学关联学科的概念和规律进行研究，利用“一题多解”的方式和变式的思路，可以有效地帮学生的思维实现突破. 研究还表明，思维突破需要一定的理论支撑，尤其是需要学习心理中的思维相关的理论作为支撑.

[关键词] 高中数学;思维;思维突破;策略

数学是思维的学科，尤其是在高中数学学习的过程中，没有思维的参与可以说是寸步难行的. 这里所说的思维还不是通常情况下学生构建数学知识、运用数学知识解题时自然运用的思维，而是指在知识难度较大、问题难度较高的情况下，学生的思维受阻时的思维体现. 而这也是考验数学教师教学技巧甚至是技艺的重要时刻，如何有效地引导学生的思维进行突破，需要讲对策、找方法. 当然，在寻找对策方法之前，有一个重要的任务就是知道学生在此类情境中思维受阻的原因，这样所寻找出来的对策方法才能真正做到“对症下药”. 下面就此问题，谈谈笔者的观点与看法.

高中生数学思维受阻的原因探究

思维是人脑对客观事物的概括与反应. 相应的，思维障碍就是人在遇到复杂的客观事物，使得概括失准、反应困难或出错. 高中数学学习的过程中，学生思维受阻的原因可以从两个层面来审视：

一是认知层面. 从信息加工理论的角度来看，思维的过程是一个学生对输入的信息进行有效加工，进而有效地输出的过程. 其中，加工对应着思维的核心环节，而思维受阻其实也就是对输入的信息没有能够有效加工. 而造成这一现象的原因又在于学生的大脑里缺乏必要的材料，或者虽然有材料但没有能够有效地调用，又或者是材料虽然调用出来了，但与新信息、新问题相互作用的时候，由于逻辑出错或者是其他原因，最终导致了结果出错.

认知层面虽然看起来比较宏观，不是太具有“操作性”，但其作为一个宏观视角，可以让教师在遇到任何问题时都能够基于认知角度进行思考，这可让教师的首次判断变得更加准确，因而很有价值.

二是数学学科层面. 具体到数学学科层面，数学知识构建与问题解决中思维受阻具有显著的数学特征，总结起来有如下几条：

原因一：原有数学概念或规律（包括生活知识以及关联学科知识与规律等）理解不透，导致新信息输入时无法有效加工. 根据建构主义学习理论，有效的学习是建立在充足的先前经验的基础之上的，数学学科的逻辑性非常强，前面所学的概念或者是生活经验不够，又或是关联学科的知识不到位，那在构建新的数学知识的时候是会出现思维障碍的. 比如说学生学习“向量”的概念，就需要物理学科知识的速度、位移等概念的支撑，如果这一基础知识出现问题（实际上比较普遍），那向量概念的构建过程中，肯定就会出现思维困境.

原因二：思维方式存在问题，导致不能有效地寻找到数学知识生成或问题有效解决的途径. 人们常说数学学习成绩好的学生很聪明，这从思维的角度来判断，实际上就是思维方式比较灵活. 相应的不灵活的表现则是，数学概念的构建比较机械，甚至有学生会纠缠于数学概念本身，譬如上面提到的“向量”概念，好多学生会纠结于为什么“既有大小，又有方向”的量要叫“向量”，一个“向”字居然会让学生思维许久，其实这从概念建立与定义界定的角度来看，根本没有必要.

原因三：思维定式水平不高导致思维障碍. 思维定式是学习者学习过程中必然会出现的情形，但根据心理学家的研究，思维定式是有水平高低之分的，常见的学习方式会让学生无意识地在某个水平上形成定式，从而阻碍更高水平的思维形成. 在“向量的运算”中一个典型的现象，就是学生熟悉了无方向的量的运算之后，对向量运算所遵循的三角形规则、平行四边形规则难以接受，这实际上就是思维障碍导致的新的数学知识建构的困难.

突破思维障碍的有效策略与方法

梳理思维障碍的形成原因，当然是为了寻找突破思维障碍的策略与方法，而既然原因清楚了，那突破思路也就清晰了. 但很显然的一个逻辑是，即使知道从上述三个角度寻找思维障碍的突破办法，也不意味着策略是有效的，真正有效的策略还是要经过实践检验的. 在此笔者提供三个得到自身实践证实有效的思路，以与同行共享.

策略一：精确理解数学或生活概念，为有效思维培元固本

这本是教学的基本要求，但却不意味着想做就能做好. 以上面的“向量”概念建立为例，在该概念建立之前，教师可以跟学生一起多花点时间去研究速度、位移等物理量的特点，总结出其既有大小、又有方向的特征，同时用例子向学生向量的运算与普通的非向量并不相同，如两个大小相等的力成不同的角度，那其作用效果肯定是不同的. 这个时候所举的例子是定性的即可，不需要让学生去进行定量判断. 但这个定性的例子又是必要的，因为其目的在于让学生对向量概念的理解更完整、更准确. 事实也证明，这种多例比较分析结合概念内涵拓展的方式，可以让学生更好地理解向量的概念，从而为后面的向量运算奠定坚实的基础.

这一策略类似于心理学中的精加工策略，其可以让学生在对学习素材的不断加工中获得能够支撑数学概念的本质认识，从而发挥突破思维的作用.

策略二：利用“一题多解”培养思维方式多样性，以拓宽学生的思维

“一题多解”原本是数学教学的优秀传统，但近年来由于对教学方式的过多关注，对应试容量的过多强调，对这一能够突破思维障碍的重要方法反而漠视了. 当然，在强调有效教学、高效教学的背景下，“一题多解”也需要赋予更多的意义.

例如，在数列知识的教学中，常常会遇到这样的例题：已知Sn是等比数列的前n项和，S3，S6，S9成等差数列，求证：a2，a5，a8成等差数列. 证明的思路可以是多元的，简单来说：

“一题多解”的教学重点有二：一是拓展学生的思维，让学生想到同一个问题可以调用多个数学知识来求解;二是让学生比较各种解法，让学生看到各种方法的相同点与不同点，这种比较相对于方法的探寻而言一样重要，因为前者只对本题有作用，而比较却可以拓宽学生的思路以让后面类似于此的数学问题的解决更具思维拓展性与突破性.

策略三：借助变式提升思维水平，为突破思维障碍寻找利器

变式同样是数学教学的“法宝”，但变式教学同样面临着被边缘化的境地，原因也同样是所谓的“费时低效”，实际上，从学生思维发展的角度来看，变式的作用是非常大的. 变式最大的价值就在于让学生能够围绕一个主题开展多角度的思维，也就是学生的思维必然会在变式的过程中自然生长、多向发展.

变式教学的步骤可以分为兩步：一是教师引导学生学生对习题变式的体验;二是让学生综合所学的知识进行变式. 教师要追求的是后者，因为其体现着学生对数学知识的综合应用能力，也是思维突破的重要契机.

立足学生思维过程提升思维能力

提升学生的思维能力，让学生在数学学习中的思维有所突破，归根结底要立足于学生的思维过程，因为在思维过程中寻找思维突破的最佳途径，并让学生亲身经历思维突破的过程，是最直接也最有效的办法.

这一思路对高中数学教学的启发是，无论是什么样的思维突破途径，都需要教师去预设学生的思维过程，去考虑学生在思维过程中会遇到什么样的困惑，这个困惑其实正是教师要研究的地方，因为困惑代表着学生思维受阻或出错的症状，从中可以梳理出概念教学的重点、“一题多解”、数学变式的最佳切入点.

在当前高中数学教学背景下，从思维的角度去研究教学有着高度的适切性，一方面，当前高考数学的命题思路已经在向思维质量的方向发展，没有一定的思维，是难以应付当前的数学高考的;另一方面，研究学生的思维可以切实培养学生的数学学习能力，这个能力恰恰也是核心素养所强调的关键能力. 需要指出的是，对思维的研究离不开理论帮助，尤其是学习心理学方面关于思维的表述，这一要求正如上述第一点所进行的宏观层面的分析一样，没有这种宏观视角与专业的理论的支撑，只凭经验是难以支撑对数学思维能力突破的研究的.

综上所述，高中数学教学中思维突破的关键需要针对思维障碍寻找方法，需要一定的理论提供支撑，这样才能真正发挥思维突破的作用.